/ Komplexe Zahlen

Multiplikation komplexer Zahlen

Produkt zweier komplexer Zahlen: (a₁ + b₁·i)(a₂ + b₂·i) = (a₁·a₂ − b₁·b₂) + (a₁·b₂ + a₂·b₁)·i. Folgt direkt aus i² = −1.

01 · Eingabe

Multiplikation komplexer Zahlen berechnen

Produkt zweier komplexer Zahlen: (a₁ + b₁·i)(a₂ + b₂·i) = (a₁·a₂ − b₁·b₂) + (a₁·b₂ + a₂·b₁)·i. Folgt direkt aus i² = −1.

z = (a₁ · a₂ − b₁ · b₂) + (a₁ · b₂ + a₂ · b₁) · i

a1 Re(z₁)

b1 Im(z₁)

a2 Re(z₂)

b2 Im(z₂)

Was ist die Multiplikation komplexer Zahlen?

Komplexe Zahlen werden wie Binome multipliziert — der entscheidende Schritt ist die Identität i² = −1, die das gemischte Glied b₁·b₂·i² in den Realteil drückt.

Geometrisch ist die Multiplikation eine Drehstreckung: Die Beträge werden multipliziert, die Argumente addiert. Ein Faktor mit Betrag 1 dreht also nur, eine reelle Zahl streckt nur.

Die Formel

Formel Multiplikation

(a₁ + b₁ · i) · (a₂ + b₂ · i)
    = a₁·a₂ + a₁·b₂·i + a₂·b₁·i + b₁·b₂·i²
    = (a₁·a₂ − b₁·b₂) + (a₁·b₂ + a₂·b₁) · i

In Polarform: |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| und arg(z₁ · z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	Re(z₁)	—	Realteil der ersten Zahl.
b₁	Im(z₁)	—	Imaginärteil der ersten Zahl.
a₂	Re(z₂)	—	Realteil der zweiten Zahl.
b₂	Im(z₂)	—	Imaginärteil der zweiten Zahl.
z	Produkt z₁·z₂	—	Ergebnis in der Form a + b·i.

Minimal-Beispiel

z₁ = 2 + 3·i und z₂ = 1 + 4·i:

Rechnung Beispiel

z₁ · z₂ = (2·1 − 3·4) + (2·4 + 1·3) · i
        = (2 − 12) + (8 + 3) · i
        = −10 + 11 · i

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Multiplikation mit i: 90°-Drehung

Die Multiplikation mit i dreht jeden Zeiger um genau 90° gegen den Uhrzeigersinn. z = 3 + 2·i:

Rechnung Drehung um 90°

z · i = (3 + 2·i) · i
      = 3·i + 2·i²
      = 3·i − 2
      = −2 + 3 · i

Beispiel 2 — Wechselstrom: Leistung S = U · Ī

Bei einer komplexen Spannung U = (230 + 0·i) V und einem konjugierten Strom Ī = (5 − 3·i) A ist die Scheinleistung:

Rechnung Komplexe Leistung

S = U · Ī = (230 · 5 − 0 · (−3)) + (230 · (−3) + 0 · 5) · i
          = 1.150 − 690 · i  VA

Wirkleistung P = 1.150 W,  Blindleistung Q = −690 var.

Beispiel 3 — Quantenmechanik: Phasenfaktor

Eine Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ = 0,8 + 0,6·i wird mit dem Phasenfaktor e^(iπ/2) = i multipliziert:

Rechnung Phasendrehung

ψ' = ψ · i = (0 · 0,8 − 1 · 0,6) + (0 · 0,6 + 1 · 0,8) · i
           = −0,6 + 0,8 · i

|ψ'|² = 0,36 + 0,64 = 1 — Norm bleibt erhalten.

Beispiel 4 — Schule: Quadrat einer komplexen Zahl

z = 1 + i, gesucht z²:

Rechnung Quadrat

z² = (1·1 − 1·1) + (1·1 + 1·1) · i
   = 0 + 2 · i
   = 2 · i