Polarform → kartesisch

Was bedeutet Polarform → kartesisch?

Eine komplexe Zahl lässt sich auf zwei gleichberechtigte Arten darstellen:

• Kartesisch: z = a + b·i mit Realteil a und Imaginärteil b.
• Polar: z = r · (cos φ + i · sin φ) mit Betrag r = |z| und Argument φ = arg(z).

Die Umrechnung von Polar nach Kartesisch ist eine direkte Anwendung der Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis: Der Realteil ist die x-Komponente r · cos(φ), der Imaginärteil die y-Komponente r · sin(φ).

In der Schreibweise von Euler: z = r · e^(i·φ).

Die Formel

z = r · (cos(φ) + i · sin(φ))
  = r · cos(φ) + r · sin(φ) · i

a = r · cos(φ)
b = r · sin(φ)

Der Winkel φ wird in Grad eingegeben — der Solver rechnet intern über π / 180 ins Bogenmaß um.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

r = 2, φ = 60°:

a = 2 · cos(60°) = 2 · 0,5    = 1
b = 2 · sin(60°) = 2 · 0,866  ≈ 1,732

z = 1 + 1,732 · i

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wechselstrom: Spannungszeiger

Eine Wechselspannung U = 230 V mit Phasenverschiebung 30° gegen die Referenz:

a = 230 · cos(30°) ≈ 230 · 0,866 ≈ 199,19  V
b = 230 · sin(30°) = 230 · 0,5            = 115,00  V

U = 199,19 + 115,00 · i  V

Beispiel 2 — Einheitskreis-Punkte

r = 1, φ = 90° — die imaginäre Einheit:

a = 1 · cos(90°) = 0
b = 1 · sin(90°) = 1

z = 0 + 1 · i = i

Beispiel 3 — Negativer Winkel

r = 5, φ = −45°:

a = 5 · cos(−45°) =  5 · 0,7071  ≈  3,536
b = 5 · sin(−45°) = 5 · (−0,7071) ≈ −3,536

z = 3,536 − 3,536 · i

Beispiel 4 — Quantenmechanik: Phasenfaktor

Ein Phasenfaktor e^(i·π/3) entspricht r = 1, φ = 60°:

a = cos(60°) = 0,5
b = sin(60°) ≈ 0,866

e^(iπ/3) = 0,5 + 0,866 · i

|z|² = 0,25 + 0,75 = 1 — wie erwartet.