Addition komplexer Zahlen

Was ist die Addition komplexer Zahlen?

Jede komplexe Zahl lässt sich als z = a + b·i schreiben, mit dem Realteil a, dem Imaginärteil b und der imaginären Einheit i (i² = −1). Die Addition ist die einfachste Operation: Real- und Imaginärteil werden getrennt addiert, exakt wie bei der Vektoraddition in der Gaußschen Zahlenebene.

Geometrisch entspricht z₁ + z₂ dem Parallelogramm, das die beiden Zeiger aufspannen — die Diagonale ist die Summe.

Die Formel

z₁ = a₁ + b₁ · i
z₂ = a₂ + b₂ · i

z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) · i

Die Addition ist kommutativ (z₁ + z₂ = z₂ + z₁) und assoziativ. Das neutrale Element ist 0 = 0 + 0·i.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

z₁ = 3 + 2·i und z₂ = 1 + 4·i:

z₁ + z₂ = (3 + 1) + (2 + 4) · i
        = 4 + 6 · i

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wechselstrom: Spannungszeiger überlagern

Zwei sinusförmige Spannungen werden in der Wechselstromrechnung als komplexe Zeiger dargestellt. U₁ = (10 + 5·i) V und U₂ = (4 − 3·i) V werden in Reihe geschaltet:

U = U₁ + U₂
  = (10 + 4) + (5 + (−3)) · i  V
  = 14 + 2 · i  V

Beispiel 2 — Quantenamplituden

Zwei Wahrscheinlichkeitsamplituden ψ₁ = 0,6 + 0,8·i und ψ₂ = 0,3 − 0,2·i interferieren konstruktiv:

ψ = ψ₁ + ψ₂
  = (0,6 + 0,3) + (0,8 − 0,2) · i
  = 0,9 + 0,6 · i

Beispiel 3 — Schule: Negative Imaginärteile

z₁ = −2 + 7·i und z₂ = 5 − 9·i:

z₁ + z₂ = (−2 + 5) + (7 + (−9)) · i
        = 3 − 2 · i

Beispiel 4 — Drei Summanden

z₁ = 1 + i, z₂ = 2 + 3·i, z₃ = −1 − 4·i:

z₁ + z₂ + z₃ = (1 + 2 + (−1)) + (1 + 3 + (−4)) · i
             = 2 + 0 · i
             = 2