/ Komplexe Zahlen

Argument einer komplexen Zahl

Winkel φ des Zeigers z = a + b·i gegen die positive Realachse: arg(z) = atan2(b, a). Ergebnis in Grad im Bereich (−180°; 180°].

01 · Eingabe

Argument einer komplexen Zahl berechnen

Winkel φ des Zeigers z = a + b·i gegen die positive Realachse: arg(z) = atan2(b, a). Ergebnis in Grad im Bereich (−180°; 180°].

φ = atan2(b, a) · 180 / π

a Realteil a

b Imaginärteil b

Was ist das Argument einer komplexen Zahl?

Das Argument φ = arg(z) ist der Winkel, den der Zeiger z = a + b·i mit der positiven Realachse einschließt. Zusammen mit dem Betrag |z| bestimmt es die Lage des Punktes in der Gaußschen Zahlenebene vollständig — das ist die Grundlage der Polarform z = r · (cos φ + i · sin φ).

Anders als arctan(b/a) berücksichtigt atan2(b, a) den Quadranten korrekt und liefert Werte im gesamten Bereich (−180°; 180°]. Damit wird z = −1 + 0·i korrekt als φ = 180° erkannt — und nicht fälschlich als 0°.

Die Formel

Formel Argument

φ = arg(z) = atan2(b, a)

Quadrantenregeln:
  a > 0           →  φ = arctan(b / a)
  a < 0, b ≥ 0    →  φ = arctan(b / a) + 180°
  a < 0, b < 0    →  φ = arctan(b / a) − 180°
  a = 0, b > 0    →  φ = +90°
  a = 0, b < 0    →  φ = −90°

Der Rechner gibt φ in Grad im Hauptwert-Intervall (−180°; 180°] aus. Für z = 0 ist das Argument nicht definiert.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Realteil	—	Realteil von z.
b	Imaginärteil	—	Imaginärteil von z.
φ	Argument	°	Phasenwinkel in Grad, (−180°; 180°].

Minimal-Beispiel

z = 1 + i — erster Quadrant, gleiche Anteile:

Rechnung Beispiel

φ = atan2(1, 1)
  = arctan(1)
  = 45°

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wechselstrom: Phasenverschiebung

Die Impedanz Z = 30 + 40·i einer R-L-Reihenschaltung hat den Phasenwinkel:

Rechnung Phasenwinkel

φ = atan2(40, 30)
  = arctan(40 / 30)
  ≈ 53,13°

Strom eilt der Spannung um ca. 53° nach.

Beispiel 2 — Zweiter Quadrant

z = −3 + 4·i liegt im zweiten Quadranten:

Rechnung Quadrant II

φ = atan2(4, −3)
  ≈ 180° − arctan(4 / 3)
  ≈ 180° − 53,13°
  ≈ 126,87°

Beispiel 3 — Negative Imaginärachse

z = 0 − 5·i:

Rechnung Negative i-Achse

φ = atan2(−5, 0)
  = −90°

Beispiel 4 — Quantenmechanik: globale Phase

Eine Amplitude ψ = −0,5 − 0,5·i wird in Polarform geschrieben:

Rechnung Phase und Betrag

|ψ| = √(0,25 + 0,25) = √0,5 ≈ 0,707
φ   = atan2(−0,5, −0,5)
    = −135°

ψ = 0,707 · (cos(−135°) + i · sin(−135°))