/ Komplexe Zahlen

Division komplexer Zahlen

Quotient zweier komplexer Zahlen: z₁ / z₂ = (a₁·a₂ + b₁·b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂·b₁ − a₁·b₂) / (a₂² + b₂²) · i. Berechnet durch Erweitern mit der Konjugierten von z₂.

01 · Eingabe

Division komplexer Zahlen berechnen

z = (a₁·a₂ + b₁·b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂·b₁ − a₁·b₂) / (a₂² + b₂²) · i

a1 Re(z₁)

b1 Im(z₁)

a2 Re(z₂)

b2 Im(z₂)

Was ist die Division komplexer Zahlen?

Anders als bei reellen Zahlen lässt sich z₁ / z₂ nicht direkt ausführen — der Nenner ist komplex. Der Trick: Erweitere Zähler und Nenner mit der Konjugierten z̄₂. Im Nenner entsteht z₂ · z̄₂ = a₂² + b₂², eine reelle Zahl, durch die man problemlos teilen kann.

Geometrisch ist die Division die Umkehrung der Multiplikation: Die Beträge werden dividiert, die Argumente subtrahiert.

Die Formel

Formel Division

z₁     a₁ + b₁ · i     (a₁ + b₁·i) · (a₂ − b₂·i)
── = ─────────── = ─────────────────────────
z₂     a₂ + b₂ · i           a₂² + b₂²

             a₁·a₂ + b₁·b₂          a₂·b₁ − a₁·b₂
      =  ─────────────────  +  ─────────────────── · i
              a₂² + b₂²              a₂² + b₂²

Voraussetzung: z₂ ≠ 0, also a₂² + b₂² > 0.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	Re(z₁)	—	Realteil des Dividenden.
b₁	Im(z₁)	—	Imaginärteil des Dividenden.
a₂	Re(z₂)	—	Realteil des Divisors (z₂ ≠ 0).
b₂	Im(z₂)	—	Imaginärteil des Divisors.
z	Quotient	—	Ergebnis z₁ / z₂ in der Form a + b·i.

Minimal-Beispiel

z₁ = 4 + 2·i, z₂ = 1 + i:

Rechnung Beispiel

Nenner:  a₂² + b₂² = 1² + 1² = 2

Re = (4·1 + 2·1) / 2 = 6 / 2 = 3
Im = (1·2 − 4·1) / 2 = −2 / 2 = −1

z = 3 − 1 · i

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wechselstrom: I = U / Z

Bei einer Spannung U = 230 + 0·i V und Impedanz Z = 30 + 40·i Ω ergibt sich der Strom als U / Z:

Rechnung Komplexer Strom

Nenner:  30² + 40² = 900 + 1.600 = 2.500

Re(I) = (230 · 30 + 0 · 40) / 2.500 = 6.900 / 2.500 = 2,76  A
Im(I) = (30 · 0 − 230 · 40) / 2.500 = −9.200 / 2.500 = −3,68  A

I = 2,76 − 3,68 · i  A
|I| = √(2,76² + 3,68²) ≈ 4,6 A

Beispiel 2 — Division durch die imaginäre Einheit

z₁ = 3 + 4·i, z₂ = 0 + 1·i:

Rechnung z / i

Nenner:  0² + 1² = 1

Re = (3·0 + 4·1) / 1 = 4
Im = (0·4 − 3·1) / 1 = −3

z = 4 − 3 · i  (entspricht Drehung um −90°)

Beispiel 3 — Schule: Beide rein reell

z₁ = 6 + 0·i, z₂ = 2 + 0·i:

Rechnung Reelle Division

Nenner:  2² + 0² = 4

Re = (6·2 + 0·0) / 4 = 12 / 4 = 3
Im = (2·0 − 6·0) / 4 = 0

z = 3 + 0 · i = 3 — wie erwartet.

Beispiel 4 — Quantenmechanik: relative Phase

Zwei Amplituden ψ₁ = 0,5 + 0,5·i und ψ₂ = 0,5 − 0,5·i. Ihr Verhältnis enthält die relative Phase:

Rechnung ψ₁ / ψ₂

Nenner:  0,5² + (−0,5)² = 0,25 + 0,25 = 0,5

Re = (0,5·0,5 + 0,5·(−0,5)) / 0,5 = 0 / 0,5     = 0
Im = (0,5·0,5 − 0,5·(−0,5)) / 0,5 = 0,5 / 0,5   = 1

ψ₁ / ψ₂ = 0 + 1 · i = i  (relative Phase 90°)