Konjugiert komplexe Zahl

Was ist die konjugiert komplexe Zahl?

Zu jeder komplexen Zahl z = a + b·i gehört die Konjugierte z̄ = a − b·i. Geometrisch ist sie die Spiegelung von z an der reellen Achse: x-Koordinate bleibt, y-Koordinate wechselt das Vorzeichen.

Die Konjugation hat drei wichtige Eigenschaften:

• Reeller Test: z̄ = z genau dann, wenn z reell ist.
• Betragsquadrat: z · z̄ = a² + b² = |z|² — eine reelle, nicht-negative Zahl.
• Division: Sie ist der Trick, mit dem man Brüche komplexer Zahlen rationalisiert.

Die Formel

z   = a + b · i
z̄  = a − b · i

Eigenschaften:
  z + z̄  = 2a            (zweimal der Realteil)
  z − z̄  = 2b · i        (zweimal der Imaginärteil, mal i)
  z · z̄  = a² + b² = |z|²
  (z₁ · z₂)̄ = z̄₁ · z̄₂

Die Variablen

Minimal-Beispiel

z = 3 + 4·i:

z̄ = 3 − 4 · i

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Betragsquadrat ohne Wurzel

z = 5 + 12·i, Betragsquadrat über z · z̄:

z · z̄ = (5 + 12·i) · (5 − 12·i)
      = 5² − (12·i)²
      = 25 − 144·i²
      = 25 + 144
      = 169
      = |z|²

Beispiel 2 — Wechselstrom: Wirkleistung

Bei komplexer Spannung U = 230 + 0·i V und Strom I = 5 + 3·i A ist die Scheinleistung S = U · Ī. Wir brauchen also zuerst Ī:

I  = 5 + 3 · i  A
Ī = 5 − 3 · i  A

S = U · Ī = 230 · (5 − 3·i) = 1.150 − 690 · i  VA
⇒ Wirkleistung P = Re(S) = 1.150 W.

Beispiel 3 — Quantenmechanik: Wahrscheinlichkeit

Für eine Amplitude ψ = 0,6 + 0,8·i ist die Messwahrscheinlichkeit |ψ|² = ψ · ψ̄:

ψ̄ = 0,6 − 0,8 · i

ψ · ψ̄ = 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1
⇒ Zustand ist normiert.

Beispiel 4 — Schule: rein imaginäre Zahl

z = 0 + 7·i (rein imaginär):

z̄ = 0 − 7 · i = −7 · i

Bei rein imaginären Zahlen ist z̄ = −z.