Lineares Gleichungssystem 2×2

Was ist ein 2×2-LGS?

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten besteht aus zwei Geradengleichungen. Die Lösung (x; y) ist genau der Schnittpunkt beider Geraden.

Es gibt drei Fälle:

• Genau eine Lösung — die Geraden schneiden sich (Determinante D ≠ 0).
• Keine Lösung — die Geraden sind parallel (D = 0, kein gemeinsamer Punkt).
• Unendlich viele Lösungen — die Geraden sind identisch.

Die Cramersche Regel liefert mit Determinanten direkt die eindeutige Lösung, falls D ≠ 0.

Die Formel

a₁·x + b₁·y = c₁
a₂·x + b₂·y = c₂

D  = a₁·b₂ − a₂·b₁
Dx = c₁·b₂ − c₂·b₁
Dy = a₁·c₂ − a₂·c₁

x = Dx / D
y = Dy / D

Bedingung: D ≠ 0

Die Variablen

Minimal-Beispiel

System: 2x + 3y = 8 x − y = 1

D  = 2·(−1) − 1·3 = −5
Dx = 8·(−1) − 1·3 = −11
Dy = 2·1 − 1·8    = −6

x = −11 / −5 = 2,2
y = −6  / −5 = 1,2

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klassische Mischrechnung

Drei Bleistifte und zwei Hefte kosten 7,50 €. Ein Bleistift und vier Hefte kosten 9,00 €. Wie teuer ist je ein Bleistift (x) bzw. ein Heft (y)?

3x + 2y = 7,5
1x + 4y = 9

D  = 3·4 − 1·2 = 10
Dx = 7,5·4 − 9·2 = 12
Dy = 3·9 − 1·7,5 = 19,5

x = 12   / 10 = 1,20 €  (Bleistift)
y = 19,5 / 10 = 1,95 €  (Heft)

Beispiel 2 — Parallel (keine Lösung)

System: 2x + 4y = 6 1x + 2y = 5

D = 2·2 − 1·4 = 0   →   keine eindeutige Lösung

Beispiel 3 — Negative Lösung

System: 4x − 2y = 10 −x + 3y = −9

D  = 4·3 − (−1)·(−2) = 12 − 2 = 10
Dx = 10·3 − (−9)·(−2) = 30 − 18 = 12
Dy = 4·(−9) − (−1)·10 = −36 + 10 = −26

x = 12  / 10 = 1,2
y = −26 / 10 = −2,6

Beispiel 4 — Geradenschnittpunkt

Die Geraden y = 2x − 1 und y = −x + 5 in Standardform bringen, dann lösen:

−2x + y = −1     ⇒  a₁=−2, b₁=1, c₁=−1
  x + y =  5     ⇒  a₂= 1, b₂=1, c₂= 5

D  = −2·1 − 1·1 = −3
Dx = −1·1 − 5·1 = −6
Dy = −2·5 − 1·(−1) = −9

x = −6 / −3 = 2
y = −9 / −3 = 3