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Lineares Gleichungssystem 3×3

Löst ein 3×3-Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel über die Determinante det₃ₓ₃. Liefert x, y und z als Text.

Lineares Gleichungssystem 3×3
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Lineares Gleichungssystem 3×3 berechnen

Löst ein 3×3-Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel über die Determinante det₃ₓ₃. Liefert x, y und z als Text.

x = det(D_x)/det(D); y = det(D_y)/det(D); z = det(D_z)/det(D)

Was ist ein 3×3-LGS?

Ein 3×3-Gleichungssystem besteht aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten x, y, z. Geometrisch entspricht jede Gleichung einer Ebene im Raum — die Lösung ist der gemeinsame Schnittpunkt aller drei Ebenen.

Die Cramersche Regel lässt sich auf 3×3-Systeme erweitern: Man berechnet die Determinante der Koeffizientenmatrix sowie drei modifizierte Determinanten und teilt sie durcheinander.

Die Formel

Formel Cramersche Regel (3×3) 
a₁·x + b₁·y + c₁·z = d₁
a₂·x + b₂·y + c₂·z = d₂
a₃·x + b₃·y + c₃·z = d₃

D  = det(Koeffizientenmatrix)
Dx = det(Matrix mit x-Spalte durch d ersetzt)
Dy = det(Matrix mit y-Spalte durch d ersetzt)
Dz = det(Matrix mit z-Spalte durch d ersetzt)

x = Dx / D     y = Dy / D     z = Dz / D

Bedingung: D ≠ 0

Die 3×3-Determinante wird per Sarrus-Regel oder Entwicklung nach der ersten Zeile bestimmt:

Formel 3×3-Determinante 
| a₁ b₁ c₁ |
| a₂ b₂ c₂ |  =  a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂)
| a₃ b₃ c₃ |

Die Variablen

SymbolBedeutungEinheitErklärung
a₁, a₂, a₃Koeffizienten von x—Vorfaktoren von x in den drei Gleichungen.
b₁, b₂, b₃Koeffizienten von y—Vorfaktoren von y in den drei Gleichungen.
c₁, c₂, c₃Koeffizienten von z—Vorfaktoren von z in den drei Gleichungen.
d₁, d₂, d₃Rechte Seiten—Konstanten der jeweiligen Gleichung.
x, y, zLösung—Gemeinsamer Schnittpunkt der drei Ebenen.

Minimal-Beispiel

System: x + y + z = 6 2x − y + z = 3 x + 2y − z = 2

Rechnung Beispiel 
D  = 1·((−1)·(−1) − 1·2) − 1·(2·(−1) − 1·1) + 1·(2·2 − (−1)·1)
   = 1·(−1) − 1·(−3) + 1·(5)
   = −1 + 3 + 5 = 7

Dx = 6·((−1)·(−1) − 1·2) − 1·(3·(−1) − 1·2) + 1·(3·2 − (−1)·2)
   = 6·(−1) − 1·(−5) + 1·(8)
   = −6 + 5 + 8 = 7

x = Dx / D = 7 / 7 = 1
(analog: y = 2, z = 3)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Drei Variablen aus Mischrechnung

Drei Sorten Tee werden gemischt. Aus drei Preis- und Mengen-Beziehungen ergibt sich:

Rechnung Mischrechnung 
2x + 1y + 1z = 10
1x + 3y + 2z = 18
3x + 2y + 1z = 17

D  = 2(3·1 − 2·2) − 1(1·1 − 3·2) + 1(1·2 − 3·3)
   = 2·(−1) − 1·(−5) + 1·(−7) = −4
Dx = 10·(−1) − 1·(18·1 − 17·2) + 1·(18·2 − 17·3)
   = −10 − (−16) + (−15) = −9
x = −9 / −4 = 2,25

Beispiel 2 — Lineare Abhängigkeit (D = 0)

System mit zwei identischen Gleichungen:

Rechnung Singulär 
x + y + z = 1
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2

D = 0   →   keine eindeutige Lösung
            (entweder unendlich viele oder keine)

Beispiel 3 — Symmetrisches System

System: x + 2y + 3z = 14 2x + y + z = 10 3x + 2y + z = 14

Rechnung Symmetrisch 
D = 1·(1 − 2) − 2·(2 − 3) + 3·(4 − 3)
  = −1 + 2 + 3 = 4

Mit Dx, Dy, Dz analog ergibt sich:
x = 1, y = 2, z = 3

Beispiel 4 — Diagonal dominante Matrix

System: 4x + y + z = 10 x + 5y + z = 14 x + y + 6z = 19

Rechnung Diagonal 
D = 4·(30 − 1) − 1·(6 − 1) + 1·(1 − 5)
  = 4·29 − 5 − 4 = 107

Damit folgen:
x ≈ 1,514     y ≈ 2,178     z ≈ 2,720