Pascalsches Dreieck

Was ist das Pascalsche Dreieck?

Das Pascalsche Dreieck ist eine dreieckige Anordnung von Zahlen, in der jeder Eintrag die Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge ist. Die Ränder sind immer 1.

Der Eintrag an Position k in Zeile n entspricht dem Binomialkoeffizienten C(n, k). Damit liest sich aus einer Zeile direkt die Entwicklung von (a + b)ⁿ ab — Zeile 4 etwa liefert die Koeffizienten 1, 4, 6, 4, 1 für (a + b)⁴.

Die Formel

P(n, k) = C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Rekursion:
P(n, 0) = P(n, n) = 1
P(n, k) = P(n − 1, k − 1) + P(n − 1, k)

Bedingung: 0 ≤ k ≤ n

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Wert an Position k = 2 in Zeile n = 5:

P(5, 2) = 5! / (2! · 3!)
        = 120 / (2 · 6)
        = 10

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Die ersten Zeilen

So sieht das Pascalsche Dreieck aus:

n = 0:                 1
n = 1:               1   1
n = 2:             1   2   1
n = 3:           1   3   3   1
n = 4:         1   4   6   4   1
n = 5:       1   5  10  10   5   1
n = 6:     1   6  15  20  15   6   1

Beispiel 2 — Binomische Entwicklung

Entwickle (a + b)⁴ mit Hilfe von Zeile 4:

Zeile 4:  1, 4, 6, 4, 1

(a + b)⁴ = 1·a⁴ + 4·a³b + 6·a²b² + 4·ab³ + 1·b⁴

Beispiel 3 — Zeilensumme

Die Summe einer Zeile n ist 2ⁿ. Probe für n = 4:

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴ ✓

Allgemein: Σ C(n, k) für k = 0 … n = 2ⁿ

Beispiel 4 — Symmetrie

Im Pascalschen Dreieck gilt P(n, k) = P(n, n − k). Probe:

P(7, 2) = 7! / (2!·5!) = 21
P(7, 5) = 7! / (5!·2!) = 21 ✓

Statt P(20, 18) berechnet man also lieber P(20, 2):
P(20, 2) = (20·19) / 2 = 190

Beispiel 5 — Rekursion nutzen

Berechne P(6, 3) per Rekursion aus Zeile 5:

P(6, 3) = P(5, 2) + P(5, 3)
        = 10 + 10
        = 20

Probe: 6! / (3!·3!) = 720 / 36 = 20 ✓