Polynomdivision (Horner -Schema)
Wertet das kubische Polynom a·x³ + b·x² + c·x + d an der Stelle x₀ mit dem Horner-Schema aus. Ergibt P(x₀) = 0, ist x₀ eine Nullstelle.
Polynomdivision (Horner-Schema) berechnen
Wertet das kubische Polynom a·x³ + b·x² + c·x + d an der Stelle x₀ mit dem Horner-Schema aus. Ergibt P(x₀) = 0, ist x₀ eine Nullstelle.
Was ist das Horner-Schema?
Das Horner-Schema ist ein effizienter Algorithmus, um den Wert eines Polynoms an einer Stelle x₀ zu berechnen. Statt alle Potenzen einzeln auszurechnen, klammert man systematisch aus:
a · x³ + b · x² + c · x + d = ((a · x + b) · x + c) · x + d
Dabei werden nur drei Multiplikationen und drei Additionen pro Auswertung benötigt — minimaler Aufwand.
Der Rechner wertet das kubische Polynom an x₀ aus. Ergibt P(x₀) = 0, ist x₀ eine Nullstelle, und du kannst (x − x₀) per Polynomdivision abspalten, um die übrigen Lösungen aus einer quadratischen Gleichung zu gewinnen.
Die Formel
P(x) = a · x³ + b · x² + c · x + d
Auswertung bei x₀:
P(x₀) = ((a · x₀ + b) · x₀ + c) · x₀ + d
Bedeutung:
P(x₀) = 0 → x₀ ist Nullstelle
P(x₀) ≠ 0 → Rest der Polynomdivision durch (x − x₀)Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| a | Koeffizient | — | Vorfaktor von x³. |
| b | Koeffizient | — | Vorfaktor von x². |
| c | Koeffizient | — | Vorfaktor von x. |
| d | Konstante | — | Absolutglied. |
| x₀ | Auswertungsstelle | — | Stelle, an der das Polynom berechnet wird. |
| y | P(x₀) | — | Funktionswert an der Stelle x₀. |
Minimal-Beispiel
Werte P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 an x₀ = 1 aus:
a = 1, b = −6, c = 11, d = −6
Schritt 1: 1 · 1 + (−6) = −5
Schritt 2: −5 · 1 + 11 = 6
Schritt 3: 6 · 1 + (−6) = 0
P(1) = 0 → x₀ = 1 ist Nullstelle.Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Nullstelle finden
Prüfe x₀ = 2 für P(x) = x³ − 4x² + x + 6:
a = 1, b = −4, c = 1, d = 6
((1 · 2 − 4) · 2 + 1) · 2 + 6
= ((−2) · 2 + 1) · 2 + 6
= (−3) · 2 + 6
= 0
→ x₀ = 2 ist Nullstelle.Beispiel 2 — Polynomdivision abspalten
Aus Beispiel 1 wissen wir: 2 ist Nullstelle. Spalte (x − 2) ab. Die Koeffizienten des Quotientenpolynoms entstehen direkt aus den Zwischenwerten des Horner-Schemas:
Horner-Werte: 1, −2, −3, 0
Quotient: x² − 2x − 3 (Restwert 0 weglassen)
Damit: x³ − 4x² + x + 6 = (x − 2)(x² − 2x − 3)
= (x − 2)(x − 3)(x + 1)
Nullstellen: −1, 2, 3Beispiel 3 — Funktionswert ohne Nullstelle
Werte P(x) = 2x³ + x² − 5x + 3 an x₀ = 0,5 aus:
a = 2, b = 1, c = −5, d = 3
((2 · 0,5 + 1) · 0,5 − 5) · 0,5 + 3
= (2 · 0,5 − 5) · 0,5 + 3
= (−4) · 0,5 + 3
= 1
→ P(0,5) = 1Beispiel 4 — Negative Auswertungsstelle
Werte P(x) = x³ + 2x² − 5x − 6 an x₀ = −1 aus:
a = 1, b = 2, c = −5, d = −6
((1·(−1) + 2)·(−1) − 5)·(−1) − 6
= (1·(−1) − 5)·(−1) − 6
= (−6)·(−1) − 6
= 0
→ x₀ = −1 ist Nullstelle.Beispiel 5 — Rationale Nullstelle suchen
Mögliche rationale Nullstellen von x³ − x² − 4x + 4 sind Teiler des Absolutgliedes: ±1, ±2, ±4. Probiere x₀ = 1:
((1 · 1 − 1) · 1 − 4) · 1 + 4
= (0 · 1 − 4) · 1 + 4
= 0
→ x₀ = 1 ist Nullstelle.
Quotient: x² + 0·x − 4 = x² − 4
Weitere Nullstellen: ±2.