Quadratische Gleichung

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades:

a · x² + b · x + c = 0 (mit a ≠ 0)

Geometrisch beschreibt das Polynom eine Parabel. Die Lösungen der Gleichung sind die x-Werte, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.

Die Mitternachtsformel (im deutschsprachigen Raum so genannt, weil man sie auch um Mitternacht aufsagen können sollte) liefert beide Lösungen direkt aus den Koeffizienten.

Die Formel

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Diskriminante:  D = b² − 4ac

D > 0   →   zwei verschiedene reelle Lösungen
D = 0   →   genau eine reelle Lösung (Doppelwurzel)
D < 0   →   keine reelle Lösung (zwei komplexe)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Löse x² − 5x + 6 = 0:

a = 1,  b = −5,  c = 6
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
√D = 1

x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 − 1) / 2 = 2

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Doppelwurzel (D = 0)

Löse x² − 6x + 9 = 0:

D = 36 − 36 = 0
x = 6 / 2 = 3   (Doppelwurzel)

Beispiel 2 — Keine reelle Lösung

Löse x² + x + 1 = 0:

D = 1 − 4 = −3
D < 0   →   keine reelle Lösung

Beispiel 3 — Wurfparabel

Ein Ball wird mit 20 m/s nach oben geworfen, Starthöhe 1,5 m. Höhe h(t) = −5t² + 20t + 1,5. Wann landet er (h = 0)?

−5t² + 20t + 1,5 = 0
a = −5,  b = 20,  c = 1,5
D = 400 + 30 = 430
√D ≈ 20,736

t₁ = (−20 + 20,736) / (−10) ≈ −0,074  (verworfen)
t₂ = (−20 − 20,736) / (−10) ≈  4,074  s

Beispiel 4 — Negative Lösungen

Löse 2x² + 8x + 6 = 0:

a = 2, b = 8, c = 6
D = 64 − 48 = 16
√D = 4

x₁ = (−8 + 4) / 4 = −1
x₂ = (−8 − 4) / 4 = −3

Beispiel 5 — Gemischte Vorzeichen

Löse 3x² − 12x − 36 = 0 (zuerst durch 3 teilen geht auch):

x² − 4x − 12 = 0
D = 16 + 48 = 64
√D = 8

x₁ = (4 + 8) / 2 = 6
x₂ = (4 − 8) / 2 = −2