/ Algebra
Satz von Vieta
Für die Normalform x² + p·x + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Der Rechner ermittelt beide Lösungen.
01 · Eingabe
Satz von Vieta berechnen
Für die Normalform x² + p·x + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁ · x₂ = q. Der Rechner ermittelt beide Lösungen.
x₁,₂ = −p/2 ± √(p²/4 − q)
Was besagt der Satz von Vieta?
Für die normierte quadratische Gleichung
x² + p · x + q = 0
verknüpft der Satz von Vieta die beiden Lösungen x₁ und x₂ direkt mit den Koeffizienten:
- Die Summe der Lösungen ist −p.
- Das Produkt der Lösungen ist q.
Praktischer Nutzen: Findet man zwei Zahlen mit Summe −p und Produkt q im Kopf, hat man die Lösungen ohne Mitternachtsformel.
Die Formel
x² + p · x + q = 0
x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q
Lösungen mit p-q-Formel:
x₁,₂ = −p/2 ± √(p²/4 − q)
Bedingung für reelle Lösungen: p²/4 ≥ qDie Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| p | Koeffizient | — | Linearer Koeffizient (vor x). |
| q | Konstante | — | Absolutglied. |
| x₁, x₂ | Lösungen | — | Nullstellen der quadratischen Gleichung. |
Minimal-Beispiel
Löse x² − 7x + 12 = 0:
Gesucht: zwei Zahlen mit Summe 7 und Produkt 12
→ 3 und 4
Probe:
x₁ + x₂ = 3 + 4 = 7 = −p ✓
x₁ · x₂ = 3 · 4 = 12 = q ✓Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Negatives q
Löse x² − x − 6 = 0:
p = −1, q = −6
Summe = 1, Produkt = −6
→ 3 und −2
x₁ = 3, x₂ = −2Beispiel 2 — Mit p-q-Formel rechnen
Löse x² + 4x − 21 = 0:
p = 4, q = −21
x₁,₂ = −2 ± √(4 − (−21))
= −2 ± √25
= −2 ± 5
x₁ = 3, x₂ = −7Beispiel 3 — Doppelwurzel
Löse x² − 8x + 16 = 0:
p² /4 − q = 16 − 16 = 0
x = 4 (Doppelwurzel)
Probe: 4 + 4 = 8 = −p ✓, 4 · 4 = 16 = q ✓Beispiel 4 — Polynom aufstellen
Welche normierte quadratische Gleichung hat die Lösungen 5 und −2?
−p = 5 + (−2) = 3 → p = −3
q = 5 · (−2) = −10
Gleichung: x² − 3x − 10 = 0Beispiel 5 — Aus Standardform überführen
Löse 2x² − 10x + 12 = 0. Erst durch 2 teilen, dann Vieta:
x² − 5x + 6 = 0
Summe = 5, Produkt = 6 → 2 und 3
x₁ = 2, x₂ = 3