/ Finanzmathematik

Annuität

Berechnet die jährliche Annuität A — den konstanten Betrag aus Zins und Tilgung, mit dem ein Kredit über n Jahre vollständig zurückgezahlt wird.

Annuität

01 · Eingabe

Annuität berechnen

Berechnet die jährliche Annuität A — den konstanten Betrag aus Zins und Tilgung, mit dem ein Kredit über n Jahre vollständig zurückgezahlt wird.

A = K · i · (1 + i) ^ n / ((1 + i) ^ n − 1)

K Kreditbetrag

€

p Zinssatz

n Laufzeit

Jahren

Was ist eine Annuität?

Die Annuität A ist die konstant gleichbleibende jährliche Zahlung, mit der ein Kredit über eine feste Laufzeit n vollständig zurückgezahlt wird. Sie setzt sich aus zwei Teilen zusammen: dem Zins-Anteil (sinkt im Lauf der Zeit) und dem Tilgungs-Anteil (wächst im Lauf der Zeit).

Annuitätendarlehen sind die übliche Finanzierungsform für Immobilien und langlaufende Kredite. Der Vorteil für den Kreditnehmer: Die Belastung bleibt über die ganze Zinsbindungs-Dauer gleich. Der Vorteil für die Bank: Vorhersehbarer Cashflow.

Mathematisch ist die Annuität nichts anderes als die Lösung der Frage: „Welche konstante Rate r macht den Barwert aller zukünftigen Zahlungen exakt gleich der heute ausgezahlten Kreditsumme K?"

Die Formel

Formel Annuität

A = K · i · (1 + i) ^ n / ((1 + i) ^ n − 1)        mit  i = p / 100

Der Faktor i · (1 + i)^n / ((1 + i)^n − 1) heißt Annuitätenfaktor. Er gibt an, welche jährliche Rate eine Einheit Kapital erzeugt — bei einem 4 % / 20 Jahre Darlehen ist das ca. 0,07358, also rund 7,36 % der Darlehenssumme pro Jahr.

Sonderfall p = 0: Wenn nicht verzinst wird, vereinfacht sich die Annuität zu A = K / n (Kredit gleichmäßig auf n Jahre verteilt).

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
K	Kreditbetrag	€	Darlehenssumme bei Vertragsbeginn.
p	Zinssatz	%	Jährlicher Sollzins; intern wird i = p/100 verwendet.
n	Laufzeit	Jahre	Tilgungsdauer in Jahren — Zeit bis zur vollständigen Rückzahlung.
A	Annuität	€/Jahr	Konstante jährliche Rate aus Zins und Tilgung.

Achtung: In Deutschland werden Kreditraten meist monatlich gezahlt. Die monatliche Rate ist nicht exakt A / 12 — sie liegt geringfügig niedriger, weil die Zinsen monatlich statt jährlich abgerechnet werden. Für eine erste Größenordnung ist A / 12 jedoch eine sehr gute Näherung.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klassische Hausfinanzierung

Du nimmst ein Darlehen über 300.000 € zu 3,5 % auf, mit 25 Jahren Laufzeit.

Rechnung Hausfinanzierung

i = 0,035
(1 + i) ^ n = 1,035 ^ 25 ≈ 2,36324
A = 300.000 · 0,035 · 2,36324 / (2,36324 − 1)
A ≈ 300.000 · 0,082713 / 1,36324
A ≈ 18.205,06 €/Jahr

Das entspricht ungefähr 1.517,09 € pro Monat.

Beispiel 2 — Autokredit über 6 Jahre

Ein Autokredit über 25.000 € bei 4,9 % auf 6 Jahre.

Rechnung Autokredit

i = 0,049
1,049 ^ 6 ≈ 1,33102
A = 25.000 · 0,049 · 1,33102 / 0,33102
A ≈ 25.000 · 0,065220 / 0,33102
A ≈ 4.925,12 €/Jahr  ≈  410,43 €/Monat

Beispiel 3 — Kurz-Tilgung

Derselbe Kreditbetrag, aber nur 10 Jahre Laufzeit bei 4 %: 200.000 € auf 10 Jahre.

Rechnung 10-Jahres-Tilgung

1,04 ^ 10 ≈ 1,48024
A = 200.000 · 0,04 · 1,48024 / 0,48024
A ≈ 200.000 · 0,059209 / 0,48024
A ≈ 24.658,19 €/Jahr  ≈  2.054,85 €/Monat

Beispiel 4 — Niedrigzins-Effekt

Dasselbe Darlehen 200.000 € / 10 Jahre — einmal bei 1 % Zins, einmal bei 5 %:

Rechnung Zinsvergleich

p = 1 %:
    1,01 ^ 10 ≈ 1,10462
    A ≈ 200.000 · 0,01 · 1,10462 / 0,10462  ≈  21.115,82 €/Jahr

p = 5 %:
    1,05 ^ 10 ≈ 1,62889
    A ≈ 200.000 · 0,05 · 1,62889 / 0,62889  ≈  25.901,67 €/Jahr

Differenz: 4.785,85 €/Jahr — über 10 Jahre fast 48.000 € mehr Zinsen.

Beispiel 5 — Annuität bei p = 0

Ein zinsloses Familien-Darlehen über 60.000 € auf 5 Jahre.

Rechnung Zinsloser Kredit

A = K / n  =  60.000 / 5  =  12.000 €/Jahr