/ Finanzmathematik

Zinseszins (Laufzeit)

Berechnet, wie viele Jahre n nötig sind, um bei einem gegebenen Zinssatz vom Anfangskapital K0 zum Zielkapital Kn zu wachsen.

01 · Eingabe

Zinseszins (Laufzeit) berechnen

Berechnet, wie viele Jahre n nötig sind, um bei einem gegebenen Zinssatz vom Anfangskapital K0 zum Zielkapital Kn zu wachsen.

n = ln(Kn / K0) / ln(1 + p/100)

K0 Anfangskapital

€

Kn Endkapital

€

p Zinssatz

Wozu die Laufzeit aus dem Zinseszins?

Bei gegebenem Zinssatz beantwortet diese Formel die Frage: „Wie viele Jahre dauert es, bis aus K0 das gewünschte Endkapital Kn wird?"

Sie ist die klassische Planungsgröße für Sparziele („Wann habe ich die Million zusammen?"), Vermögensaufbau und Verdopplungs-Rechnungen. Mathematisch ist sie die Umstellung der Zinseszinsformel nach n und braucht dafür den natürlichen Logarithmus.

Die Formel

Formel Laufzeit aus Zinseszins

n = ln(Kn / K0) / ln(1 + p/100)

Herleitung durch Umstellung von Kn = K0 · (1 + p/100) ^ n:

Formel Herleitung

Kn / K0 = (1 + p/100) ^ n
ln(Kn / K0) = n · ln(1 + p/100)
n = ln(Kn / K0) / ln(1 + p/100)

Statt des natürlichen Logarithmus ln funktioniert auch jeder andere Logarithmus — Hauptsache, derselbe steht im Zähler und im Nenner.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
K0	Anfangskapital	€	Startkapital.
Kn	Endkapital	€	Zielkapital, das erreicht werden soll.
p	Zinssatz	%	Jährlicher Zinssatz (p > 0, sonst nicht definiert).
n	Laufzeit	Jahre	Berechnete Anzahl Jahre — meist eine Dezimalzahl.

In der Praxis wird das Ergebnis aufgerundet: 7,3 Jahre bedeutet, dass das Ziel im achten Jahr erreicht ist.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Sparziel Eigenheim

Du hast 30.000 € und brauchst 50.000 € für die Anzahlung. Bei 3,5 % Zinsen — wie lange dauert das?

Rechnung Eigenheim

n = ln(50.000 / 30.000) / ln(1 + 3,5/100)
n = ln(1,6667) / ln(1,035)
n ≈ 0,51083 / 0,03440
n ≈ 14,85 Jahre

Beispiel 2 — Verdopplung bei 5 % Zinsen

Wie lange dauert es, bis sich ein Kapital bei 5 % verdoppelt?

Rechnung Verdopplung

n = ln(2) / ln(1,05)
n ≈ 0,69315 / 0,04879
n ≈ 14,21 Jahre

Die bekannte 72er-Regel (72 / 5 = 14,4) liefert eine sehr gute Schätzung.

Beispiel 3 — Vom Sparbuch zur Million

Auf einem Depot liegen 100.000 €, das Ziel ist eine Million bei angenommen 6 % Durchschnittsrendite.

Rechnung Million

n = ln(1.000.000 / 100.000) / ln(1,06)
n = ln(10) / ln(1,06)
n ≈ 2,30259 / 0,05827
n ≈ 39,52 Jahre

Beispiel 4 — Studienkonto

Bei der Geburt werden 8.000 € zu 4 % angelegt; gebraucht werden 20.000 € für ein Studium. Wann ist das Ziel erreicht?

Rechnung Studienkonto

n = ln(20.000 / 8.000) / ln(1,04)
n = ln(2,5) / ln(1,04)
n ≈ 0,91629 / 0,03922
n ≈ 23,36 Jahre

Etwas zu spät für ein Erststudium — also lieber höheren Sparbetrag oder höhere Rendite einplanen.