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Arithmetische Folge (n-tes Glied)

Berechnet das n-te Glied einer arithmetischen Folge: aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Per Umstellung lassen sich auch a₁, d oder n bestimmen.

01 · Eingabe

Arithmetische Folge (n-tes Glied) berechnen

Berechnet das n-te Glied einer arithmetischen Folge: aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Per Umstellung lassen sich auch a₁, d oder n bestimmen.

Lösen für

an = a1 + (n − 1) · d

a1 Erstes Glied

d Differenz

n Gliedsnummer

Was ist eine arithmetische Folge?

Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich ist. Dieser feste Abstand heißt Differenz d.

Beispiel: 3, 7, 11, 15, 19, … — hier ist a₁ = 3 und d = 4. Jedes weitere Glied entsteht, indem du 4 addierst.

Weil das so regelmäßig ist, brauchst du nicht alle Glieder einzeln aufzuschreiben: Aus a₁ und d kannst du jedes beliebige Glied aₙ direkt ausrechnen.

Die Formel

Formel n-tes Glied

aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Umstellungen nach den anderen Variablen:

Formel Umstellungen

a₁ = aₙ − (n − 1) · d
d  = (aₙ − a₁) / (n − 1)
n  = (aₙ − a₁) / d + 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	Erstes Glied	—	Startwert der Folge.
d	Differenz	—	Konstanter Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.
n	Gliedsnummer	—	Position in der Folge (n ≥ 1, ganzzahlig).
aₙ	n-tes Glied	—	Wert an Position n.

Minimal-Beispiel

a₁ = 3, d = 4 — gesucht ist a₁₀:

Rechnung Beispiel

a₁₀ = 3 + (10 − 1) · 4
    = 3 + 36
    = 39

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erste Glieder einer Folge

Folge mit a₁ = 5 und d = 2:

Rechnung a₁..a₆

a₁ = 5
a₂ = 5 + 1 · 2 =  7
a₃ = 5 + 2 · 2 =  9
a₄ = 5 + 3 · 2 = 11
a₅ = 5 + 4 · 2 = 13
a₆ = 5 + 5 · 2 = 15

Beispiel 2 — Sparplan mit fester Erhöhung

Du legst im ersten Monat 50 € beiseite und erhöhst jeden Monat um 10 €. Wie viel sparst du im 24. Monat allein?

Rechnung Monat 24

a₁ = 50;  d = 10;  n = 24

a₂₄ = 50 + (24 − 1) · 10
    = 50 + 230
    = 280 €

Beispiel 3 — Differenz aus zwei Gliedern bestimmen

Gegeben a₁ = 4 und a₇ = 28. Wie groß ist d?

Rechnung d berechnen

d = (a₇ − a₁) / (7 − 1)
  = (28 − 4) / 6
  = 24 / 6
  = 4

Beispiel 4 — Position eines Werts in der Folge

Folge mit a₁ = 2 und d = 3. An welcher Position steht der Wert 47?

Rechnung n berechnen

n = (47 − 2) / 3 + 1
  = 45 / 3 + 1
  = 15 + 1
  = 16

Beispiel 5 — Negative Differenz

Folge mit a₁ = 100 und d = −7 (Stoßdämpfer-Test mit abnehmender Kraft pro Versuch):

Rechnung a₁₂

a₁₂ = 100 + (12 − 1) · (−7)
    = 100 − 77
    = 23