Arithmetische Reihe (Summe)

Was ist eine arithmetische Reihe?

Eine arithmetische Reihe ist die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge. Statt jedes Glied einzeln zu addieren, nutzt du die berühmte Gauß-Idee: Erstes und letztes Glied paaren sich, zweites und vorletztes ebenfalls — alle Paare haben die gleiche Summe a₁ + aₙ.

Daraus folgt direkt die geschlossene Form: Anzahl Paare mal Paar-Summe, also S = n/2 · (a₁ + aₙ).

Die Formel

S = n / 2 · (a₁ + aₙ)

Wenn du aₙ noch nicht kennst, setzt du es aus der Folgen-Formel ein und erhältst:

S = n / 2 · (2 · a₁ + (n − 1) · d)

Umstellung nach n:

n = 2 · S / (a₁ + aₙ)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Summe von 1 + 2 + 3 + … + 10:

S = 10 / 2 · (1 + 10)
  = 5 · 11
  = 55

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Klassische Gauß-Aufgabe

Summe der Zahlen 1 bis 100:

S = 100 / 2 · (1 + 100)
  = 50 · 101
  = 5050

Beispiel 2 — Sparplan mit steigender Rate

Im ersten Monat legst du 50 € zurück, jeden Folgemonat 10 € mehr. Wie viel hast du nach 24 Monaten gespart?

a₁  =  50;  d = 10;  n = 24
a₂₄ = 50 + 23 · 10 = 280

S = 24 / 2 · (50 + 280)
  = 12 · 330
  = 3.960 €

Beispiel 3 — Stapel zählen

Steine sind in Reihen gestapelt: oben 5, jede weitere Reihe 3 mehr, insgesamt 8 Reihen. Wie viele Steine insgesamt?

a₁ =  5;  d = 3;  n = 8
a₈ =  5 + 7 · 3 = 26

S = 8 / 2 · (5 + 26)
  = 4 · 31
  = 124 Steine

Beispiel 4 — Anzahl Glieder rückwärts bestimmen

Eine Folge beginnt bei a₁ = 2 und endet bei aₙ = 50. Die Summe ist 442. Wie viele Glieder enthält die Reihe?

n = 2 · 442 / (2 + 50)
  = 884 / 52
  = 17

Beispiel 5 — Reihe mit negativer Differenz

Folge mit a₁ = 30 und d = −2, summiert über die ersten 10 Glieder:

a₁₀ = 30 + 9 · (−2) = 12

S = 10 / 2 · (30 + 12)
  = 5 · 42
  = 210