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Geometrische Folge (n-tes Glied)

Berechnet das n-te Glied einer geometrischen Folge: aₙ = a₁ · q^(n − 1). Per Umstellung lassen sich auch a₁ und q bestimmen.

01 · Eingabe

Geometrische Folge (n-tes Glied) berechnen

Berechnet das n-te Glied einer geometrischen Folge: aₙ = a₁ · q^(n − 1). Per Umstellung lassen sich auch a₁ und q bestimmen.

Lösen für

an = a1 · q ^ (n − 1)

a1 Erstes Glied

q Quotient

n Gliedsnummer

Was ist eine geometrische Folge?

Eine geometrische Folge entsteht, wenn du jedes Glied mit demselben festen Faktor multiplizierst. Dieser Faktor heißt Quotient q.

Beispiel: 2, 6, 18, 54, 162, … — hier ist a₁ = 2 und q = 3. Jedes Glied ist dreimal so groß wie das vorherige.

Im Gegensatz zur arithmetischen Folge wächst das Ergebnis nicht linear, sondern exponentiell. Genau das macht geometrische Folgen so wichtig für Zinsen, Bevölkerungsentwicklung, radioaktiven Zerfall und Halbwertszeiten.

Die Formel

Formel n-tes Glied

aₙ = a₁ · q ^ (n − 1)

Umstellungen:

Formel Umstellungen

a₁ = aₙ / q ^ (n − 1)
q  = (aₙ / a₁) ^ (1 / (n − 1))

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	Erstes Glied	—	Startwert der Folge.
q	Quotient	—	Gemeinsamer Faktor zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.
n	Gliedsnummer	—	Position in der Folge (n ≥ 1, ganzzahlig).
aₙ	n-tes Glied	—	Wert an Position n.

Minimal-Beispiel

a₁ = 2, q = 3 — gesucht ist a₅:

Rechnung Beispiel

a₅ = 2 · 3 ^ (5 − 1)
   = 2 · 81
   = 162

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erste Glieder einer Folge

Folge mit a₁ = 1 und q = 2 (Verdopplung):

Rechnung a₁..a₈

a₁ =   1
a₂ =   2
a₃ =   4
a₄ =   8
a₅ =  16
a₆ =  32
a₇ =  64
a₈ = 128

Beispiel 2 — Zinseszins

Du legst 1.000 € an, der Wert wächst jährlich um 5 % (Zinsfaktor q = 1,05). Wie groß ist das Kapital nach 10 Jahren?

Rechnung Kapital nach 10 Jahren

a₁ = 1.000;  q = 1,05;  n = 11
(a₁ ist Jahr 0, a₁₁ ist Jahr 10)

a₁₁ = 1.000 · 1,05 ^ 10
    ≈ 1.000 · 1,6289
    ≈ 1.628,89 €

Beispiel 3 — Halbwertszeit

Eine radioaktive Substanz halbiert ihre Aktivität alle 5 Jahre. Startwert 800 Bq. Aktivität nach 25 Jahren?

Rechnung Zerfall

Schritt = 5 Jahre;  q = 0,5;  n = 6
(a₁ ist Jahr 0, a₆ ist Jahr 25)

a₆ = 800 · 0,5 ^ 5
   = 800 · 0,03125
   = 25 Bq

Beispiel 4 — Quotient aus zwei Gliedern bestimmen

Folge mit a₁ = 4 und a₅ = 324. Welcher Quotient q liegt vor?

Rechnung q berechnen

q = (324 / 4) ^ (1 / (5 − 1))
  = 81 ^ (1/4)
  = 3

Beispiel 5 — Startwert rekonstruieren

Du weißt: a₆ = 486 bei q = 3. Wie groß war a₁?

Rechnung a₁ berechnen

a₁ = 486 / 3 ^ (6 − 1)
   = 486 / 243
   = 2