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Geometrische Reihe (endliche Summe)

Berechnet die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge: S = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1). Für q = 1 ergibt sich S = n · a₁.

01 · Eingabe

Geometrische Reihe (endliche Summe) berechnen

Berechnet die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge: S = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1). Für q = 1 ergibt sich S = n · a₁.

S = a1 · (q ^ n − 1) / (q − 1)

a1 Erstes Glied

q Quotient

n Anzahl Glieder

Was ist die geometrische Reihe?

Eine geometrische Reihe ist die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge: S = a₁ + a₁·q + a₁·q² + … + a₁·q^(n − 1).

Statt jedes Glied einzeln zu addieren, liefert eine kurze algebraische Umformung die geschlossene Formel S = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1). Sie gilt für jeden Quotienten q ≠ 1. Im Sonderfall q = 1 sind alle Glieder gleich groß, und es gilt einfach S = n · a₁.

Die Formel taucht überall in der Finanzmathematik auf — bei Sparplänen mit Zinseszins, bei Krediten und bei jeder Art von Wachstum oder Zerfall, das über mehrere Perioden aufsummiert wird.

Die Formel

Formel Reihensumme

S = a₁ · (q^n − 1) / (q − 1)        für q ≠ 1
S = n · a₁                          für q = 1

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a₁	Erstes Glied	—	Startwert der Folge.
q	Quotient	—	Gemeinsamer Faktor zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern.
n	Anzahl Glieder	—	Anzahl der summierten Glieder (n ≥ 1, ganzzahlig).
S	Summe	—	Summe a₁ + a₁·q + … + a₁·q^(n − 1).

Minimal-Beispiel

a₁ = 1, q = 2, n = 8 (Summe der Zweierpotenzen 1 + 2 + 4 + … + 128):

Rechnung Beispiel

S = 1 · (2^8 − 1) / (2 − 1)
  = (256 − 1) / 1
  = 255

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Schachbrett und Reiskörner

Eine Legende sagt: Auf das erste Feld ein Korn, auf jedes weitere doppelt so viele. Wie viele Körner sind das insgesamt für die 64 Felder?

Rechnung Reiskörner

a₁ = 1;  q = 2;  n = 64

S = 1 · (2^64 − 1) / (2 − 1)
  = 2^64 − 1
  ≈ 1,84 · 10^19 Körner

Beispiel 2 — Sparplan mit Zins

Du zahlst jährlich 1.200 € ein, das angesparte Kapital verzinst sich mit 4 % pro Jahr (q = 1,04). Wert nach 10 Einzahlungen (nachschüssig, zum Jahresende)?

Rechnung Sparplan

a₁ = 1.200;  q = 1,04;  n = 10

S = 1.200 · (1,04^10 − 1) / (1,04 − 1)
  = 1.200 · (1,48024 − 1) / 0,04
  = 1.200 · 12,006
  ≈ 14.407,21 €

Beispiel 3 — Abnehmende Folge

Eine Werbeaktion bringt im ersten Monat 10.000 Klicks, danach pro Monat 20 % weniger (q = 0,8). Summe über 6 Monate?

Rechnung Klicks gesamt

a₁ = 10.000;  q = 0,8;  n = 6

S = 10.000 · (0,8^6 − 1) / (0,8 − 1)
  = 10.000 · (0,262144 − 1) / (−0,2)
  = 10.000 · 3,68928
  ≈ 36.892,8 Klicks

Beispiel 4 — Endliche Dezimalbruch-Summe

Summe von 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + 0,00001 (5 Glieder, q = 0,1):

Rechnung Dezimalbruch

a₁ = 0,1;  q = 0,1;  n = 5

S = 0,1 · (0,1^5 − 1) / (0,1 − 1)
  = 0,1 · (0,00001 − 1) / (−0,9)
  = 0,1 · 1,11111
  ≈ 0,11111

Beispiel 5 — Geometrische Reihe mit q = 1

Wenn q = 1, dann sind alle Glieder gleich a₁:

Rechnung Sonderfall

a₁ = 7;  q = 1;  n = 12

S = n · a₁
  = 12 · 7
  = 84