Geometrische Reihe (unendlich)

Was ist die unendliche geometrische Reihe?

Wenn du eine geometrische Folge nicht nach n Gliedern abbrichst, sondern unendlich weiter summierst, passieren zwei Dinge:

• |q| < 1: Die Glieder werden immer kleiner und die Summe nähert sich einem festen Grenzwert. Die Reihe konvergiert.
• |q| ≥ 1: Die Glieder werden nicht kleiner — die Summe wächst über alle Grenzen oder pendelt. Die Reihe divergiert, kein endlicher Wert existiert.

Im konvergenten Fall liefert die Grenzwert-Formel sofort den Wert, gegen den S strebt: S = a₁ / (1 − q).

Die Formel

S = a₁ / (1 − q)        nur für |q| < 1

Umstellungen:

a₁ = S · (1 − q)
q  = 1 − a₁ / S

Die Variablen

Minimal-Beispiel

a₁ = 1, q = 1/2 — die berühmte Reihe 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …

S = 1 / (1 − 0,5)
  = 1 / 0,5
  = 2

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Periodischer Dezimalbruch in Bruchform

Schreibe 0,333… als Bruch. Das ist eine geometrische Reihe mit a₁ = 0,3 und q = 0,1:

S = 0,3 / (1 − 0,1)
  = 0,3 / 0,9
  = 1/3

Beispiel 2 — Bouncing-Ball-Problem

Ein Ball fällt aus 2 m Höhe und springt jeweils auf 60 % der vorigen Höhe zurück (q = 0,6). Gesamte zurückgelegte Strecke (alle Auf- und Ab-Wege bis zur Ruhe)?

Erstfall: 2 m (nur abwärts).
Danach jedes Sprung-Paar (auf + ab) hat Länge
2 · 0,6 · vorige Höhe.

Aufstrecke S_auf = 1,2 / (1 − 0,6) = 3 m
Abstrecke   S_ab = 2 + 3        = 5 m
Summe              = 8 m

Beispiel 3 — Startwert aus Grenzwert bestimmen

Eine konvergente Reihe hat den Grenzwert S = 50 und q = 0,8. Welcher Startwert a₁?

a₁ = 50 · (1 − 0,8)
   = 50 · 0,2
   = 10

Beispiel 4 — Quotient aus Grenzwert bestimmen

Mit a₁ = 4 strebt die Reihe gegen S = 16. Wie groß ist q?

q = 1 − 4 / 16
  = 1 − 0,25
  = 0,75

Beispiel 5 — Divergenz erkennen

Versuche, die Reihe mit a₁ = 1 und q = 1,2 aufzusummieren:

|q| = 1,2 ≥ 1
→ Die Reihe konvergiert NICHT.
→ Formel S = a₁ / (1 − q) ist nicht anwendbar.
→ Die Glieder wachsen über alle Grenzen.