/ Folgen & Reihen

Harmonische Reihe (Partialsumme)

Berechnet die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe: Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. Die unendliche Reihe divergiert.

01 · Eingabe

Harmonische Reihe (Partialsumme) berechnen

Berechnet die n-te Partialsumme der harmonischen Reihe: Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n. Die unendliche Reihe divergiert.

H = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n

n Anzahl Glieder

Was ist die harmonische Reihe?

Die harmonische Reihe ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

Auf den ersten Blick wirken die Summanden so klein, dass die Reihe einen Grenzwert haben müsste. Tatsächlich aber divergiert sie — die Partialsumme wird beliebig groß, wenn n nur weit genug läuft. Allerdings wächst sie extrem langsam, ungefähr wie ln(n). Für die Summe der ersten Million Glieder brauchst du immerhin nur rund 14,4.

Für endliches n nennst du Hₙ die n-te Partialsumme — und genau diese wird hier berechnet.

Die Formel

Formel Partialsumme

Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … + 1/n

Für große n liefert die Eulersche Näherung einen guten Schätzwert:

Formel Näherung

Hₙ ≈ ln(n) + γ          mit γ ≈ 0,5772 (Euler-Mascheroni-Konstante)

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Anzahl Glieder	—	Obere Grenze der Summation (n ≥ 1, ganzzahlig).
H	Partialsumme	—	Wert der ersten n Kehrwerte aufsummiert.

Minimal-Beispiel

H₄ berechnen:

Rechnung Beispiel

H₄ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4
   = 12/12 + 6/12 + 4/12 + 3/12
   = 25/12
   ≈ 2,0833

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erste Partialsummen

Rechnung H₁..H₁₀

H₁  = 1
H₂  = 1,5000
H₃  = 1,8333
H₄  = 2,0833
H₅  = 2,2833
H₆  = 2,4500
H₇  = 2,5929
H₈  = 2,7179
H₉  = 2,8290
H₁₀ = 2,9290

Beispiel 2 — Langsames Wachstum

Wie groß ist die Summe nach 100, 1.000 und einer Million Gliedern?

Rechnung Größenordnungen

H₁₀₀         ≈  5,187
H₁ ₀₀₀       ≈  7,486
H₁ ₀₀₀ ₀₀₀   ≈ 14,393

Die Summe wächst wie ln(n) + 0,5772

Beispiel 3 — Vergleich mit der Näherung

Für n = 50:

Rechnung Näherung prüfen

Hₙ exakt:    ≈ 4,4992
ln(50) + γ:  = ln(50) + 0,5772
             ≈ 3,9120 + 0,5772
             = 4,4892
Fehler:      ≈ 0,01 (kleiner als 1 / (2n))

Beispiel 4 — Stapel von Münzen am Tischrand

Klassische Physikaufgabe: Wie weit kann ein Stapel aus n gleichen Münzen über die Tischkante hinaus ragen, ohne zu kippen? Maximaler Überhang in Münz-Längen:

Rechnung Münz-Überhang

Überhang = (1/2) · Hₙ

4 Münzen:    (1/2) · 2,0833 ≈ 1,04 Längen
10 Münzen:   (1/2) · 2,9290 ≈ 1,46 Längen
100 Münzen:  (1/2) · 5,187  ≈ 2,59 Längen

Beispiel 5 — Divergenz spüren

Wie viele Glieder brauchst du, um die Partialsumme über 10 zu bringen?

Rechnung Hₙ ≥ 10

Aus ln(n) + γ ≈ 10 folgt
n ≈ e^(10 − 0,5772) ≈ e^9,4228 ≈ 12 367

→ erst ab n ≈ 12 367 wird Hₙ größer als 10.