Dreiecksfläche (2 Seiten + Winkel)

Was bedeutet die Sinus-Flächenformel?

Sind im Dreieck zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt — die sogenannte SWS-Konstellation —, lässt sich die Fläche direkt berechnen, ohne den Umweg über eine Höhe. Die Höhe auf eine der beiden Seiten ergibt sich aus der jeweils anderen Seite und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels: h = b · sin(γ). Damit wird aus A = ½ · a · h direkt A = ½ · a · b · sin(γ).

Für γ = 90° geht die Formel in das einfache A = ½ · a · b für rechtwinklige Dreiecke über, denn sin(90°) = 1. Für γ = 0° oder γ = 180° verschwindet die Fläche — die drei Punkte liegen dann auf einer Geraden.

Die Formel

A = ½ · a · b · sin(γ)

Der Winkel γ ist der Winkel zwischen den Seiten a und b und wird in Grad eingegeben.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

a = 6, b = 8, γ = 30°:

A = ½ · 6 · 8 · sin(30°)
  = ½ · 48 · 0,5
  = 12

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Tortendiagramm-Segment als Dreieck

Ein Drachenrahmen besteht aus zwei Stäben (1,20 m und 0,80 m), die im Winkel von 75° verbunden sind. Wie groß ist die halbe Drachenfläche (ein Dreieck)?

A = ½ · 1,20 · 0,80 · sin(75°)
  = ½ · 0,96 · 0,9659
  ≈ 0,464 m²

Beispiel 2 — Schulaufgabe: Gleichseitiges Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a = 10 cm ist jeder Innenwinkel 60°.

A = ½ · 10 · 10 · sin(60°)
  = ½ · 100 · 0,8660
  ≈ 43,30 cm²

Beispiel 3 — Architektur: dreieckige Glasfläche

Ein keilförmiges Oberlicht hat zwei Schenkel mit 1,50 m und 1,80 m, der eingeschlossene Winkel an der Spitze ist 40°.

A = ½ · 1,50 · 1,80 · sin(40°)
  = ½ · 2,70 · 0,6428
  ≈ 0,868 m²

Beispiel 4 — Vermessung mit Theodolit

Vom Standpunkt aus werden zwei Strecken gemessen: 45 m und 60 m, der Winkel zwischen den Visuren beträgt 120°.

A = ½ · 45 · 60 · sin(120°)
  = ½ · 2 700 · 0,8660
  ≈ 1 169,1 m²