Kreissegmentfläche
Fläche eines Kreissegments (vom Bogen und der Sehne begrenzt). Mit α im Bogenmaß: A = r² / 2 · (α − sin α). Eingabe von α erfolgt in Grad.
Kreissegmentfläche berechnen
Fläche eines Kreissegments (vom Bogen und der Sehne begrenzt). Mit α im Bogenmaß: A = r² / 2 · (α − sin α). Eingabe von α erfolgt in Grad.
Was ist ein Kreissegment?
Ein Kreissegment ist der Bereich, der zwischen einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen liegt — also der „abgeschnittene" Teil einer Kreisscheibe. Es entsteht aus einem Kreissektor, indem man das innen liegende Dreieck (Spitze im Mittelpunkt, Sehne als Basis) abzieht.
Die Formel A = r² / 2 · (α − sin α) verwendet α im Bogenmaß. Da der Rechner und die meisten Aufmaße den Winkel in Grad bereitstellen, rechnet der Solver intern α_rad = α · π / 180 — das taucht in der gezeigten Formel als α_rad auf. Für kleine Winkel ist der Subtraktionsterm sehr empfindlich gegenüber Rundungen; mit doppelter Genauigkeit (Float64) gibt es in der Praxis aber keine Probleme.
Die Formel
α_rad = α · π / 180
A = r² / 2 · (α_rad − sin(α_rad))Für α = 180° (halber Kreis) ergibt sich konsequent A = π · r² / 2.
Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| r | Radius | Länge | Radius des zugehörigen Kreises. |
| α | Mittelpunktswinkel | Grad | Winkel zwischen den Sehnenendpunkten am Mittelpunkt. |
| A | Fläche | Fläche | Flächeninhalt des Segments. |
Minimal-Beispiel
Halbkreis (α = 180°) mit r = 5:
α_rad = 180 · π / 180 = π ≈ 3,1416
A = 25 / 2 · (3,1416 − sin(3,1416))
= 12,5 · (3,1416 − 0)
≈ 39,27Kontrolle: π · r² / 2 = π · 25 / 2 ≈ 39,27. Passt.
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Wasserstand in einem liegenden Tank
Ein liegender zylindrischer Tank (r = 0,80 m, Länge 3,00 m) ist bis zu einer Höhe gefüllt, die einem Mittelpunktswinkel von 120° entspricht (Bogen oberhalb der Wasseroberfläche).
α_rad = 120 · π / 180 ≈ 2,0944
Segment_oben = 0,80² / 2 · (2,0944 − sin(2,0944))
≈ 0,32 · (2,0944 − 0,866)
≈ 0,393 m²
Wasserfläche = π · 0,80² − 0,393 ≈ 1,617 m²
Volumen = 1,617 · 3,00 ≈ 4,85 m³Beispiel 2 — Rundbogen-Fenster
Ein Bogenfenster bildet ein Segment über einer 1,40 m breiten Sehne, der Bogen ist 0,40 m hoch. Aus diesen Maßen ergibt sich r = 0,81 m und α ≈ 120°.
α_rad = 120 · π / 180 ≈ 2,0944
A = 0,81² / 2 · (2,0944 − sin(2,0944))
≈ 0,328 · (2,0944 − 0,866)
≈ 0,403 m²Beispiel 3 — Bauteil im Maschinenbau
Eine Sichelnut hat r = 25 mm und einen Öffnungswinkel von 60°.
α_rad = 60 · π / 180 ≈ 1,0472
A = 25² / 2 · (1,0472 − sin(1,0472))
= 312,5 · (1,0472 − 0,866)
≈ 56,6 mm²Beispiel 4 — Gartenteich-Ausbuchtung
Ein Teich hat eine kreisförmige Ausbuchtung mit r = 1,20 m und α = 90°.
α_rad = 90 · π / 180 ≈ 1,5708
A = 1,20² / 2 · (1,5708 − sin(1,5708))
= 0,72 · (1,5708 − 1,0)
≈ 0,411 m²