Bogenlänge

Was ist die Bogenlänge?

Die Bogenlänge ist die tatsächliche Länge eines Kreisbogens — gemessen entlang der Kurve, nicht als gerade Sehne. Sie hängt vom Radius des Kreises und vom Mittelpunktswinkel α ab, den der Bogen am Mittelpunkt einschließt.

Über den Vollkreis gilt: 360° entsprechen dem vollen Kreisumfang U = 2 · π · r. Ein Bogen mit Winkel α deckt den Anteil α / 360° des Vollkreises ab.

Die Formel

b = r · α · π / 180          (α in Grad)
b = r · α                    (α in Bogenmaß)

Aufgelöst (α in Grad):
    r = b · 180 / (α · π)
    α = b · 180 / (r · π)

In dieser Formel wird der Winkel in Grad eingegeben — die Konvertierung in Bogenmaß übernimmt der Solver intern.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Bogen bei r = 10 m und α = 90°:

b = 10 · 90 · π / 180
  = 10 · π / 2
  ≈ 15,71 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Kurvenlänge einer Straße

Eine Straßenkurve hat Radius r = 250 m und überstreicht α = 35°. Wie lang ist die Kurve in der Achse?

b = 250 · 35 · π / 180
  ≈ 250 · 0,6109
  ≈ 152,72 m

Beispiel 2 — Gewölbebogen im Bauwesen

Ein halbkreisförmiger Gewölbebogen mit Radius r = 1,80 m hat α = 180°.

b = 1,80 · 180 · π / 180
  = 1,80 · π
  ≈ 5,65 m

Beispiel 3 — Vermessung: Bogen über drei Punkte

Ein Sektor mit Radius r = 75,00 m hat eine gemessene Bogenlänge von b = 31,42 m. Welcher Mittelpunktswinkel gehört dazu?

α = b · 180 / (r · π)
  = 31,42 · 180 / (75,00 · π)
  ≈ 5 654 / 235,62
  ≈ 24,00°

Beispiel 4 — Schule: Pizzastück

Ein Pizzastück hat einen Außenradius von 14 cm und einen Mittelpunktswinkel von 60°. Welche Länge hat die Krustenkante?

b = 14 · 60 · π / 180
  = 14 · π / 3
  ≈ 14,66 cm

Beispiel 5 — Maschinenbau: Riemen über Riemenscheibe

Über eine Riemenscheibe mit r = 12,5 cm läuft ein Riemen über einen Umschlingungswinkel von α = 165°. Wie lang ist der aufliegende Riemenabschnitt?

b = 12,5 · 165 · π / 180
  ≈ 12,5 · 2,8798
  ≈ 36,00 cm