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Kosinussatz

Verallgemeinerung des Pythagoras für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ). Berechnet Seite c oder den Winkel γ.

Kosinussatz

01 · Eingabe

Kosinussatz berechnen

Verallgemeinerung des Pythagoras für beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ). Berechnet Seite c oder den Winkel γ.

Lösen für

c = √(a² + b² − 2 · a · b · cos(γ))

a Seite a

b Seite b

gamma Winkel γ

Was ist der Kosinussatz?

Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras auf beliebige (nicht-rechtwinklige) Dreiecke:

c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ)

Dabei sind a und b zwei Seiten und γ der von ihnen eingeschlossene Winkel. Bei γ = 90° wird cos(γ) = 0 und die Gleichung reduziert sich auf c² = a² + b² — den Pythagoras.

Mit dem Kosinussatz lassen sich zwei Klassiker lösen, die der Sinussatz nicht direkt abdeckt:

SWS — zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt → dritte Seite berechnen.
SSS — alle drei Seiten sind bekannt → einen Winkel berechnen.

Die Formel

Formel Kosinussatz

c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(γ)

Aufgelöst:
    c = √(a² + b² − 2 · a · b · cos(γ))
    γ = arccos((a² + b² − c²) / (2 · a · b))

Der Winkel γ wird in Grad eingegeben.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Seite a	Länge	Erste der beiden anliegenden Seiten.
b	Seite b	Länge	Zweite der beiden anliegenden Seiten.
γ	Winkel γ	°	Winkel zwischen a und b (in Grad).
c	Seite c	Länge	Gegenüberliegende Seite.

Minimal-Beispiel

Gegeben: a = 5, b = 7, γ = 60°. Gesucht: c.

Rechnung SWS

c = √(5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos(60°))
  = √(25 + 49 − 70 · 0,5)
  = √(74 − 35)
  = √39
  ≈ 6,24

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Vermessung: Distanz hinter einem Hindernis

Zwei Punkte sind 120 m bzw. 150 m vom Standort entfernt. Der Sehwinkel zwischen ihnen beträgt γ = 47°. Wie weit liegen sie voneinander entfernt?

Rechnung Distanz

c = √(120² + 150² − 2 · 120 · 150 · cos(47°))
  = √(14 400 + 22 500 − 36 000 · 0,6820)
  = √(36 900 − 24 552)
  = √12 348
  ≈ 111,12 m

Beispiel 2 — Bauwesen: Diagonale eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm hat Seiten a = 6,00 m und b = 4,00 m, Innenwinkel γ = 110°. Wie lang ist die längere Diagonale?

Rechnung Diagonale

c = √(6,00² + 4,00² − 2 · 6,00 · 4,00 · cos(110°))
  = √(36 + 16 − 48 · (−0,3420))
  = √(52 + 16,42)
  = √68,42
  ≈ 8,27 m

Beispiel 3 — Winkel aus drei Seiten (SSS)

Ein Dreieck hat die Seiten a = 7, b = 9, c = 12. Wie groß ist der Winkel γ gegenüber c?

Rechnung γ

γ = arccos((7² + 9² − 12²) / (2 · 7 · 9))
  = arccos((49 + 81 − 144) / 126)
  = arccos(−14 / 126)
  = arccos(−0,1111)
  ≈ 96,38°

Beispiel 4 — Schule: gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat Schenkel a = b = 5 cm und einen Spitzenwinkel γ = 40°. Wie lang ist die Basis c?

Rechnung Basis

c = √(5² + 5² − 2 · 5 · 5 · cos(40°))
  = √(50 − 50 · 0,7660)
  = √(50 − 38,30)
  = √11,70
  ≈ 3,42 cm