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Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse und a, b die Katheten sind.

Satz des Pythagoras

01 · Eingabe

Satz des Pythagoras berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse und a, b die Katheten sind.

Lösen für

c = √(a² + b²)

a Kathete a

b Kathete b

Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras verknüpft die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten — der Katheten a und b — addieren sich zum Quadrat der längsten Seite, der Hypotenuse c. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Der Satz ist die Grundlage für nahezu alle Längenberechnungen in der Ebene: vom Treppenmeter über die Diagonale eines Bildschirms bis zur Schnurprobe auf der Baustelle.

Die Formel

Formel Pythagoras

c² = a² + b²

Aufgelöst nach den Seiten:
    c = √(a² + b²)
    a = √(c² − b²)
    b = √(c² − a²)

Voraussetzung: Das Dreieck muss einen rechten Winkel (90°) zwischen a und b haben. Andernfalls gilt der allgemeine Kosinussatz.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Kathete a	Länge	Erste der beiden Seiten am rechten Winkel.
b	Kathete b	Länge	Zweite der beiden Seiten am rechten Winkel.
c	Hypotenuse	Länge	Längste Seite — gegenüber dem rechten Winkel.

Minimal-Beispiel

Hypotenuse aus a = 3 und b = 4:

Rechnung 3-4-5-Dreieck

c = √(3² + 4²)
  = √(9 + 16)
  = √25
  = 5

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Diagonale eines Raums

Ein Raum ist 6,00 m lang und 4,50 m breit. Wie lang ist die Bodendiagonale?

Rechnung Raumdiagonale

d = √(6,00² + 4,50²)
  = √(36 + 20,25)
  = √56,25
  ≈ 7,50 m

Beispiel 2 — Leiter an der Wand

Eine Leiter von 5,00 m steht 1,40 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?

Rechnung Leiterhöhe

h = √(5,00² − 1,40²)
  = √(25 − 1,96)
  = √23,04
  ≈ 4,80 m

Beispiel 3 — Schnurprobe auf der Baustelle (3-4-5-Methode)

Maurer und Vermesser legen einen rechten Winkel mit der 3-4-5-Regel: Eine Strecke von 3 m und eine zweite von 4 m bilden genau dann einen rechten Winkel, wenn die Verbindungsstrecke 5 m misst — denn 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Beispiel 4 — Sparrenlänge im Dachstuhl

Ein Pultdach hat eine Spannweite von 8,00 m und eine Höhendifferenz von 2,40 m zwischen Trauf- und Firstpfette. Wie lang ist der Sparren?

Rechnung Sparren

s = √(8,00² + 2,40²)
  = √(64 + 5,76)
  = √69,76
  ≈ 8,35 m

Beispiel 5 — Vermessung über ein Hindernis

Ein Punkt liegt 120 m östlich und 50 m nördlich des Standorts. Welche Luftlinie liegt dazwischen?

Rechnung Luftlinie

d = √(120² + 50²)
  = √(14 400 + 2 500)
  = √16 900
  = 130 m