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Sehnenlänge

Länge der Sehne zu einem Mittelpunktswinkel α: s = 2 · r · sin(α / 2).

Sehnenlänge

01 · Eingabe

Sehnenlänge berechnen

Länge der Sehne zu einem Mittelpunktswinkel α: s = 2 · r · sin(α / 2).

Lösen für

s = 2 · r · sin(α / 2)

r Radius

alpha Mittelpunktswinkel

Was ist die Sehnenlänge?

Die Sehne ist die gerade Strecke zwischen zwei Punkten auf einer Kreislinie — anders als die Bogenlänge, die der Kreislinie folgt. Verbindet man die beiden Endpunkte mit dem Kreismittelpunkt, entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln r, r und der Sehne s als Basis. Der Winkel an der Spitze (am Mittelpunkt) ist der Mittelpunktswinkel α.

Aus diesem Dreieck folgt direkt die Sehnenformel:

s = 2 · r · sin(α / 2)

Sie wird in der Geometrie, im Maschinenbau (Teilung am Lochkreis), in der Vermessung (Sekanten an Kurven) und in der Astronomie verwendet.

Die Formel

Formel Sehnenlänge

s = 2 · r · sin(α / 2)

Aufgelöst:
    r = s / (2 · sin(α / 2))

Der Mittelpunktswinkel α wird in Grad eingegeben.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
r	Radius	Länge	Radius des Kreises.
α	Mittelpunktswinkel	°	Winkel zwischen den beiden Sehnen-Endpunkten (in Grad).
s	Sehnenlänge	Länge	Gerade Verbindung der beiden Endpunkte.

Minimal-Beispiel

Sehne bei r = 10 m und α = 60°:

Rechnung Sehne 60°

s = 2 · 10 · sin(30°)
  = 20 · 0,5
  = 10,00 m

Spezialfall: Bei α = 60° ist die Sehne genauso lang wie der Radius.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lochkreis im Maschinenbau

Auf einem Flansch sollen 6 Bohrungen gleichmäßig auf einem Lochkreis mit Durchmesser 120 mm verteilt werden (also Teilungswinkel α = 60°). Welchen Abstand haben benachbarte Bohrungen voneinander?

Rechnung Bohrungsabstand

r = 60 mm
s = 2 · 60 · sin(30°)
  = 120 · 0,5
  = 60,00 mm

Beispiel 2 — Bauwesen: Sekante an einer Brückenbogen

Ein Brückenbogen hat Radius r = 25,00 m. Eine Sekante überspannt einen Mittelpunktswinkel von α = 80°. Wie lang ist sie?

Rechnung Sekantenlänge

s = 2 · 25,00 · sin(40°)
  ≈ 50,00 · 0,6428
  ≈ 32,14 m

Beispiel 3 — Vermessung: Radius aus Sehne und Winkel

Im Gelände wurde eine Sehne von s = 18,00 m gemessen, der zugehörige Mittelpunktswinkel beträgt α = 22°. Welcher Radius gehört zur Kurve?

Rechnung Radius

r = 18,00 / (2 · sin(11°))
  ≈ 18,00 / (2 · 0,1908)
  ≈ 47,17 m

Beispiel 4 — Schule: regelmäßiges Sechseck

Die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks liegen auf einem Umkreis. Bei Umkreisradius r = 5 cm und Mittelpunktswinkel α = 60° pro Seite ergibt sich:

Rechnung Sechseckseite

s = 2 · 5 · sin(30°)
  = 10 · 0,5
  = 5,00 cm

Die Seitenlänge eines regelmäßigen Sechsecks ist also gleich seinem Umkreisradius — eine schöne Konsequenz der Sehnenformel.

Beispiel 5 — Astronomie: scheinbarer Durchmesser

Ein Objekt am Himmel erscheint unter einem Sehwinkel von α = 0,5° und steht in einer Entfernung r = 384 000 km (Mond). Welcher tatsächliche Durchmesser entspricht dem (Sehne im Sehkegel)?

Rechnung Monddurchmesser

s = 2 · 384 000 · sin(0,25°)
  ≈ 768 000 · 0,004363
  ≈ 3 351 km