Sinus

Was ist der Sinus?

Der Sinus eines Winkels α im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse:

sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse = a / c

Der Wert liegt für reelle Winkel immer zwischen −1 und 1. Bei α = 0° ist sin(α) = 0, bei α = 90° ist sin(α) = 1.

Mit dem Sinus berechnest du Höhen, Steigungen, schiefe Lasten und alles, was sich als „senkrechte Komponente" einer schrägen Strecke beschreiben lässt.

Die Formel

sin(α) = a / c

Aufgelöst:
    a = c · sin(α)
    c = a / sin(α)
    α = arcsin(a / c)

Der Winkel wird in Grad eingegeben. Intern rechnet der Solver mit α · π / 180 ins Bogenmaß.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Gegenkathete bei α = 30° und Hypotenuse c = 10 m:

a = c · sin(α)
  = 10 · sin(30°)
  = 10 · 0,5
  = 5,00 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Höhe einer Rampe

Eine Rampe ist 4,50 m lang und steigt unter 8°. Welche Höhe überwindet sie?

h = 4,50 · sin(8°)
  ≈ 4,50 · 0,1392
  ≈ 0,63 m

Beispiel 2 — Dachneigung aus Sparren und Höhe

Ein Sparren von 6,00 m überwindet eine Höhe von 2,10 m. Wie groß ist die Dachneigung α?

α = arcsin(2,10 / 6,00)
  = arcsin(0,35)
  ≈ 20,49°

Beispiel 3 — Vermessung einer Mast-Höhe

Du stehst 25 m von einem Mast entfernt und siehst dessen Spitze unter einem Höhenwinkel von 32°. Die direkte Sichtlinie zur Spitze misst 29,48 m. Wie hoch steht die Spitze über deiner Augenhöhe?

h = 29,48 · sin(32°)
  ≈ 29,48 · 0,5299
  ≈ 15,62 m

Beispiel 4 — Schule: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 8 cm beträgt jeder Winkel 60°. Wie groß ist die Höhe?

h = 8 · sin(60°)
  ≈ 8 · 0,8660
  ≈ 6,93 cm