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Sinussatz

In jedem Dreieck gilt a / sin(α) = b / sin(β). Damit lässt sich aus zwei Winkeln und einer Seite die Gegenseite eines weiteren Winkels berechnen.

Sinussatz

01 · Eingabe

Sinussatz berechnen

In jedem Dreieck gilt a / sin(α) = b / sin(β). Damit lässt sich aus zwei Winkeln und einer Seite die Gegenseite eines weiteren Winkels berechnen.

Lösen für

b = a · sin(β) / sin(α)

a Seite a

alpha Winkel α

beta Winkel β

Was ist der Sinussatz?

Der Sinussatz gilt in jedem Dreieck — nicht nur im rechtwinkligen — und beschreibt das konstante Verhältnis zwischen einer Seite und dem Sinus ihres Gegenwinkels:

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)

Damit lässt sich aus zwei Winkeln und einer Seite jede weitere Seite bestimmen — etwa wenn nur ein einziges Maß im Gelände gemessen werden kann und die Restwinkel über Sichtachsen aufgenommen werden.

Die Formel

Formel Sinussatz

a / sin(α) = b / sin(β)

Aufgelöst:
    b = a · sin(β) / sin(α)
    a = b · sin(α) / sin(β)

In jedem Dreieck gilt α + β + γ = 180°, sodass aus zwei Winkeln immer der dritte folgt.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Seite a	Länge	Bekannte Seite, gegenüber dem Winkel α.
α	Winkel α	°	Winkel gegenüber Seite a (in Grad).
β	Winkel β	°	Winkel gegenüber Seite b (in Grad).
b	Seite b	Länge	Gesuchte Seite, gegenüber dem Winkel β.

Minimal-Beispiel

Gegeben: a = 10, α = 30°, β = 45°. Gesucht: b.

Rechnung b berechnen

b = a · sin(β) / sin(α)
  = 10 · sin(45°) / sin(30°)
  = 10 · 0,7071 / 0,5
  ≈ 14,14

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Vermessung über einen Fluss

Auf der einen Uferseite wird eine Standlinie a = 80,00 m abgesteckt. Vom einen Endpunkt aus erscheint ein Mast unter α = 65°, vom anderen unter β = 78°. Wie weit ist der Mast vom zweiten Standpunkt entfernt (Seite b)?

Rechnung Distanz zum Mast

b = 80,00 · sin(78°) / sin(65°)
  ≈ 80,00 · 0,9781 / 0,9063
  ≈ 86,33 m

Beispiel 2 — Bauwesen: schiefes Vordach

Ein Vordach soll als schiefes Dreieck mit Trauflinie a = 4,20 m, α = 105° (gegenüber a) und β = 38° entstehen. Wie lang wird die Schräge b?

Rechnung Vordachschräge

b = 4,20 · sin(38°) / sin(105°)
  ≈ 4,20 · 0,6157 / 0,9659
  ≈ 2,68 m

Beispiel 3 — Schule: Standardaufgabe

In einem Dreieck sind a = 6 cm, α = 50° und β = 60° gegeben.

Rechnung b

b = 6 · sin(60°) / sin(50°)
  ≈ 6 · 0,8660 / 0,7660
  ≈ 6,78 cm

Beispiel 4 — Sehnenwinkel im Kreis

Ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis a = 5,0 cm hat an der Basis Winkel von je α = 72°. Welche Schenkellänge b liegt gegenüber dem Spitzenwinkel β = 36°?

Rechnung Schenkel

b = 5,0 · sin(36°) / sin(72°)
  ≈ 5,0 · 0,5878 / 0,9511
  ≈ 3,09 cm