Tangens

Was ist der Tangens?

Der Tangens eines Winkels α im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete:

tan(α) = Gegenkathete / Ankathete = a / b

Anders als Sinus und Kosinus ist der Tangens nicht beschränkt: Er wächst von 0 bei α = 0° gegen unendlich, wenn α sich 90° nähert.

Der Tangens steckt hinter jeder Angabe einer Steigung in Prozent: 10 % Steigung bedeutet tan(α) = 0,10 — also α ≈ 5,71°.

Die Formel

tan(α) = a / b

Aufgelöst:
    a = b · tan(α)
    b = a / tan(α)
    α = arctan(a / b)

Der Winkel wird in Grad eingegeben.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Höhe bei α = 45° und Lauflänge b = 3 m:

a = b · tan(α)
  = 3 · tan(45°)
  = 3 · 1
  = 3,00 m

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Steigung in Prozent → Winkel

Eine Straße steigt mit 12 %. Welcher Steigungswinkel entspricht dem?

α = arctan(0,12)
  ≈ 6,84°

Beispiel 2 — Höhenmessung über die Basis

Du stehst 18,00 m vor einem Baum und misst zur Krone einen Höhenwinkel von 38°. Wie hoch ist der Baum (Augenhöhe einbezogen)?

h = 18,00 · tan(38°)
  ≈ 18,00 · 0,7813
  ≈ 14,06 m

Beispiel 3 — Dachneigung in Grad aus Lauflänge und Höhe

Ein Dach hat eine Höhe von 3,50 m über eine Lauflänge von 5,00 m. Welche Dachneigung ergibt sich?

α = arctan(3,50 / 5,00)
  = arctan(0,70)
  ≈ 34,99°

Beispiel 4 — Schule: Schatten und Sonnenstand

Ein 1,80 m hoher Mensch wirft einen Schatten von 2,40 m. Wie hoch steht die Sonne über dem Horizont?

α = arctan(1,80 / 2,40)
  = arctan(0,75)
  ≈ 36,87°

Beispiel 5 — Vermessung: Querneigung einer Fahrbahn

Eine Fahrbahn hat eine Querneigung von 2,5 % auf 3,50 m Breite. Welcher Höhenunterschied liegt zwischen den beiden Rändern?

Δh = 3,50 · tan(arctan(0,025))
   = 3,50 · 0,025
   ≈ 0,088 m
   = 8,8 cm