/ Geometrie Volumen & Oberfläche

Ellipsoid Volumen

Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a, b, c: V = 4/3 · π · a · b · c.

Ellipsoid Volumen

01 · Eingabe

Ellipsoid Volumen berechnen

Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a, b, c: V = 4/3 · π · a · b · c.

V = 4/3 · π · a · b · c

a Halbachse a

b Halbachse b

c Halbachse c

Was ist das Ellipsoidvolumen?

Ein Ellipsoid ist eine in alle drei Raumrichtungen unabhängig gestauchte oder gestreckte Kugel. Die Form wird durch drei Halbachsen a, b und c entlang der x-, y- und z-Achse beschrieben. Spezialfälle:

a = b = c: gewöhnliche Kugel
a = b ≠ c: Rotationsellipsoid (Rugby-Form oder linsenförmig)
a ≠ b ≠ c: dreiachsiges Ellipsoid

Das Volumen ergibt sich aus der Kugelformel, indem r³ durch a · b · c ersetzt wird:

V = 4/3 · π · a · b · c

Anwendungen reichen vom Lebensmittel (Eier, Melonen) über Geowissenschaften (Erdellipsoid WGS84) bis Medizin (Organvolumina).

Die Formel

Formel Ellipsoidvolumen

V = 4/3 · π · a · b · c

Für eine geschlossene Formel der Ellipsoidoberfläche gibt es keine elementare Lösung — sie erfordert elliptische Integrale.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Halbachse a	Länge	Halbe Ausdehnung in x-Richtung.
b	Halbachse b	Länge	Halbe Ausdehnung in y-Richtung.
c	Halbachse c	Länge	Halbe Ausdehnung in z-Richtung.
V	Volumen	Länge³	Rauminhalt des Ellipsoids.

Minimal-Beispiel

Volumen bei a = 3, b = 2, c = 1:

Rechnung 3-2-1-Ellipsoid

V = 4/3 · π · 3 · 2 · 1
  = 4/3 · π · 6
  = 8 · π
  ≈ 25,13

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Volumen eines Hühnereis

Ein typisches Hühnerei hat Halbachsen rund a = 22 mm, b = 22 mm, c = 30 mm:

Rechnung Hühnerei

V = 4/3 · π · 22 · 22 · 30
  = 4/3 · π · 14 520
  ≈ 60 821 mm³
  ≈ 60,8 cm³
  ≈ 60,8 ml

Beispiel 2 — Liegender Heizöltank (Rotationsellipsoid)

Ein verbauter Innentank ist ellipsoidisch (a = c = 0,70 m, b = 1,40 m). Welches Nettovolumen hat er?

Rechnung Tankvolumen

V = 4/3 · π · 0,70 · 1,40 · 0,70
  = 4/3 · π · 0,686
  ≈ 2,875 m³
  ≈ 2 875 Liter

Beispiel 3 — Wassermelone

Eine ovale Wassermelone hat a = 12 cm, b = 12 cm, c = 18 cm:

Rechnung Wassermelone

V = 4/3 · π · 12 · 12 · 18
  = 4/3 · π · 2 592
  ≈ 10 857 cm³
  ≈ 10,86 Liter

Beispiel 4 — Erdellipsoid (WGS84)

Die Erde wird oft als Rotationsellipsoid mit a = b ≈ 6 378,137 km (Äquatorradius) und c ≈ 6 356,752 km (Polradius) modelliert:

Rechnung Erdvolumen

V = 4/3 · π · 6 378,137 · 6 378,137 · 6 356,752
  ≈ 1,083 21 · 10¹² km³

Beispiel 5 — Spezialfall Kugel

Mit a = b = c = r kollabiert die Formel zur klassischen Kugelformel:

Rechnung Spezialfall

V = 4/3 · π · r · r · r
  = 4/3 · π · r³