Kegel Oberfläche

Was ist die Kegeloberfläche?

Die geschlossene Oberfläche eines geraden Kreiskegels besteht aus zwei Teilen:

• der Grundfläche als Kreis mit A_G = π · r²
• der Mantelfläche als ausgerolltes Kreissegment mit A_M = π · r · s, wobei s die schiefe Höhe (Mantellinie) von der Spitze zum Grundkreisrand ist.

Aus der Geometrie folgt s = √(r² + h²) (Pythagoras im Achsen-Dreieck). Damit ist die Gesamtoberfläche:

O = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s) = π · r · (r + √(r² + h²))

Soll der Kegel offen sein (z. B. ein Strohhut oder ein Trichter ohne Boden), entfällt die Grundfläche; man rechnet dann nur mit der Mantelfläche.

Die Formel

s = √(r² + h²)
O = π · r · (r + s)
  = π · r · (r + √(r² + h²))

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Oberfläche bei r = 3, h = 4 (klassisches 3-4-5-Verhältnis):

s = √(3² + 4²) = √25 = 5
O = π · 3 · (3 + 5)
  = π · 24
  ≈ 75,40

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Blech für einen Lampenschirm-Kegel

Ein konischer Schirm hat Grundradius r = 0,20 m und Höhe h = 0,30 m. Wie viel Blech wird benötigt (geschlossener Kegel inkl. Grundkreis)?

s = √(0,20² + 0,30²)
  = √0,13
  ≈ 0,360 m
O = π · 0,20 · (0,20 + 0,360)
  ≈ π · 0,20 · 0,560
  ≈ 0,352 m²

Beispiel 2 — Anstrich eines Kegeldachs

Ein Silo trägt ein Kegeldach mit r = 1,20 m und h = 0,80 m. Welche Außenfläche muss lackiert werden (nur Mantel)?

s = √(1,20² + 0,80²)
  = √2,08
  ≈ 1,442 m
A_mantel = π · 1,20 · 1,442
         ≈ 5,44 m²

Beispiel 3 — Karneval: Spitzhüte aus Tonpapier

Ein Partyhut entsteht als offener Kegel mit r = 8 cm und h = 25 cm. Wie viel Tonpapier brauchst du pro Hut?

s = √(8² + 25²)
  = √689
  ≈ 26,25 cm
A_mantel = π · 8 · 26,25
         ≈ 659,7 cm²

Beispiel 4 — Flachkegel (h klein gegenüber r)

Bei einem sehr flachen Kegel mit r = 1,00 m und h = 0,10 m ist die Mantelfläche kaum größer als der Grundkreis:

s = √(1,00² + 0,10²) ≈ 1,005 m
A_grund  = π · 1,00²   ≈ 3,142 m²
A_mantel = π · 1 · 1,005 ≈ 3,158 m²
O        ≈ 6,30 m²

Beispiel 5 — Spitzkegel (h groß gegenüber r)

Bei einem hohen, schmalen Kegel mit r = 0,30 m und h = 2,00 m dominiert der Mantel:

s = √(0,30² + 2,00²) ≈ 2,022 m
A_grund  = π · 0,30²   ≈ 0,283 m²
A_mantel = π · 0,30 · 2,022 ≈ 1,906 m²
O        ≈ 2,19 m²