Kegel Volumen

Was ist das Kegelvolumen?

Ein gerader Kreiskegel hat eine kreisförmige Grundfläche und läuft in einer Spitze zusammen. Senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche liegt die Spitze in der Höhe h. Das Volumen beträgt genau ein Drittel des Volumens des umschreibenden Zylinders:

V = π · r² · h / 3

Diese Form tritt überall dort auf, wo Material in eine Spitze ausläuft: Trichter, Schüttkegel, Tetraeder-ähnliche Aufbauten, Eistüten, Sandhaufen.

Die Formel

V = π · r² · h / 3

Aufgelöst:
    r = √(3·V / (π · h))
    h = 3·V / (π · r²)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Volumen bei r = 3, h = 6:

V = π · 3² · 6 / 3
  = π · 9 · 2
  = 18 · π
  ≈ 56,55

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Sandhaufen auf der Baustelle

Ein Sandhaufen bildet einen Kegel mit Grundradius r = 1,50 m und Schütthöhe h = 0,90 m. Welche Menge wurde abgeladen?

V = π · 1,50² · 0,90 / 3
  = π · 2,25 · 0,30
  ≈ 2,12 m³

Beispiel 2 — Trichter in der Verfahrenstechnik

Ein Pulvertrichter (umgekehrter Kegel) hat oben r = 0,40 m und ist 0,60 m tief. Welches Speichervolumen ergibt sich?

V = π · 0,40² · 0,60 / 3
  = π · 0,16 · 0,20
  ≈ 0,1005 m³
  ≈ 100,5 Liter

Beispiel 3 — Spitze auf einem zylindrischen Tank

Ein Silo besteht aus Zylinder (r = 1,20 m, h = 3,00 m) plus aufgesetztem Kegeldach (gleicher Radius, h = 0,80 m). Welchen Volumenanteil hat das Dach?

V_dach = π · 1,20² · 0,80 / 3
       = π · 1,44 · 0,267
       ≈ 1,21 m³

Beispiel 4 — Höhe aus bekanntem Volumen

Ein Eis-Hütchen fasst genau 50 cm³ Eis bei Grundradius r = 2,5 cm. Welche Tiefe muss es haben?

h = 3 · 50 / (π · 2,5²)
  = 150 / 19,635
  ≈ 7,64 cm

Beispiel 5 — Vergleich Kegel ↔ Zylinder

Wie groß ist das Kegelvolumen verglichen mit einem Zylinder gleicher Grundfläche und Höhe (r = 1, h = 1)?

V_zylinder = π · 1² · 1     ≈ 3,1416
V_kegel    = π · 1² · 1 / 3 ≈ 1,0472
Verhältnis = V_kegel / V_zylinder = 1/3

Drei gleich große Kegel füllen genau einen Zylinder gleicher Grundfläche und Höhe — eine elegante Konsequenz der „durch 3"-Regel.