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Torus Volumen

Volumen eines Torus (Ring) mit großem Radius R (Zentrum zum Rohrzentrum) und kleinem Radius r (Rohrradius): V = 2 · π² · R · r².

Torus Volumen

01 · Eingabe

Torus Volumen berechnen

Volumen eines Torus (Ring) mit großem Radius R (Zentrum zum Rohrzentrum) und kleinem Radius r (Rohrradius): V = 2 · π² · R · r².

V = 2 · π² · R · r²

R Großer Radius

r Kleiner Radius

Was ist das Torusvolumen?

Ein Torus ist die Ringform, die entsteht, wenn ein Kreis (mit Radius r) um eine Achse rotiert, die im Abstand R zum Kreismittelpunkt liegt. Anschaulich: das Profil eines Donut, einer O-Ring-Dichtung oder eines Rohrbogens.

Nach dem Satz von Guldin lässt sich das Volumen direkt aus der Querschnittsfläche π · r² und dem zurückgelegten Weg des Schwerpunktes 2 · π · R berechnen:

V = (π · r²) · (2 · π · R) = 2 · π² · R · r²

Voraussetzung: Der Querschnittskreis liegt vollständig außerhalb der Drehachse, also R ≥ r.

Die Formel

Formel Torusvolumen

V = 2 · π² · R · r²

mit:
    R = Abstand Mittelachse → Rohrzentrum
    r = Radius des Rohrquerschnitts

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
R	Großer Radius	Länge	Abstand der Drehachse zum Rohrzentrum.
r	Kleiner Radius	Länge	Radius des Rohrquerschnitts.
V	Volumen	Länge³	Rauminhalt des Rings.

Minimal-Beispiel

Volumen bei R = 5, r = 1:

Rechnung R=5, r=1

V = 2 · π² · 5 · 1²
  = 10 · π²
  ≈ 98,70

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wasserinhalt eines Rohrbogens (180°)

Ein U-förmiger Rohrbogen (Rohrinnenradius r = 12 mm) hat Biegeradius R = 80 mm zur Bogenmitte. Welches Volumen entspricht einem Vollkreisring — und welcher Anteil dem Halbkreis?

Rechnung Rohrbogen

V_voll = 2 · π² · 80 · 12²
       = 2 · π² · 11 520
       ≈ 227 416 mm³
       ≈ 227 ml

V_180° = V_voll / 2
       ≈ 113,7 ml

Beispiel 2 — Volumen einer O-Ring-Dichtung

Ein O-Ring hat Schnurstärke 5 mm (r = 2,5 mm) und Innendurchmesser 60 mm. Damit liegt R = 30 + 2,5 = 32,5 mm:

Rechnung O-Ring

V = 2 · π² · 32,5 · 2,5²
  = 2 · π² · 203,125
  ≈ 4 011 mm³
  ≈ 4,01 cm³

Beispiel 3 — Schwimmreifen-Volumen

Ein Schwimmreifen mit Außendurchmesser 0,80 m und Schnurstärke 0,20 m hat R = 0,30 m und r = 0,10 m:

Rechnung Schwimmreifen

V = 2 · π² · 0,30 · 0,10²
  = 2 · π² · 0,003
  ≈ 0,0592 m³
  ≈ 59,2 Liter

Beispiel 4 — Dünner Ring im Vergleich zur Kugel

Bei R = 1 m und r = 0,05 m ist das Torusvolumen klein, weil der Querschnitt klein ist:

Rechnung Dünner Ring

V = 2 · π² · 1 · 0,05²
  = 2 · π² · 0,0025
  ≈ 0,0493 m³

Beispiel 5 — Vergleich Torus ↔ gerades Rohr gleicher Länge

Bei R = 0,50 m und r = 0,05 m: Rohrlänge = 2·π·R ≈ 3,142 m. Volumen als Torus:

Rechnung Vergleich

V_torus = 2 · π² · 0,50 · 0,05²
        ≈ 0,02467 m³

V_rohr  = π · 0,05² · 3,142
        ≈ 0,02467 m³

Beide Resultate stimmen exakt überein — Guldins Regel macht den Torus zum „gebogenen Rohr".