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Binomialkoeffizient

Berechnet "n über k" = n! / (k! · (n − k)!) — die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen.

Binomialkoeffizient

01 · Eingabe

Binomialkoeffizient berechnen

Berechnet "n über k" = n! / (k! · (n − k)!) — die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen.

C = n! / (k! · (n − k)!)

n Gesamtmenge

k Auswahl

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient „n über k" zählt, auf wie viele Arten man k Elemente aus einer Gesamtmenge von n Elementen auswählen kann — wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt.

Beispiel: Aus einer Gruppe von 5 Personen sollen 2 in eine Jury gewählt werden. Es gibt C(5, 2) = 10 mögliche Jury-Zusammensetzungen.

Der Binomialkoeffizient steht im Mittelpunkt der Kombinatorik und liefert die Zeilen des Pascalschen Dreiecks.

Die Formel

Formel Binomialkoeffizient

C = n! / (k! · (n − k)!)

Bedingung:  0 ≤ k ≤ n
Symmetrie:  C(n, k) = C(n, n − k)
Randwerte:  C(n, 0) = C(n, n) = 1

In der Praxis kürzt man den Bruch — k! im Nenner gegen die obersten k Faktoren von n!.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
n	Gesamtmenge	—	Anzahl der zur Verfügung stehenden Elemente, n ≥ 0.
k	Auswahl	—	Anzahl der zu wählenden Elemente, 0 ≤ k ≤ n.
C	Binomialkoeffizient	—	Anzahl der Auswahl-Möglichkeiten ohne Reihenfolge.

Minimal-Beispiel

C(5, 2):

Rechnung Beispiel

C = 5! / (2! · 3!)
  = 120 / (2 · 6)
  = 120 / 12
  = 10

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lottozahlen

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 aus 49 Zahlen zu tippen?

Rechnung 6 aus 49

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!)
         = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) / (1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6)
         = 13.983.816

Beispiel 2 — Teams bilden

Aus 10 Mitarbeitern sollen 3 für ein Projekt-Team ausgewählt werden:

Rechnung 3 aus 10

C(10, 3) = (10 · 9 · 8) / (1 · 2 · 3)
         = 720 / 6
         = 120 Möglichkeiten

Beispiel 3 — Symmetrie ausnutzen

C(20, 18) ist gleich C(20, 2) — das spart viel Rechenarbeit:

Rechnung Symmetrie

C(20, 18) = C(20, 2)
          = (20 · 19) / (1 · 2)
          = 190

Beispiel 4 — Pascalsches Dreieck

Die Werte C(n, k) bilden Zeile für Zeile das Pascalsche Dreieck:

Rechnung Erste Zeilen

n = 0:                 1
n = 1:               1   1
n = 2:             1   2   1
n = 3:           1   3   3   1
n = 4:         1   4   6   4   1
n = 5:       1   5  10  10   5   1
n = 6:     1   6  15  20  15   6   1