Fakultät

Was ist die Fakultät?

Die Fakultät n! einer nicht-negativen ganzen Zahl n ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n. Sie zählt die Zahl der Möglichkeiten, n Elemente in eine Reihenfolge zu bringen — also die Permutationen.

Beispiel: Drei Bücher A, B, C lassen sich auf 3! = 6 verschiedene Arten in eine Reihe stellen (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA).

Per Definition gilt 0! = 1 — das ist kein Trick, sondern die einzige Festlegung, die alle kombinatorischen Formeln widerspruchsfrei macht.

Die Formel

F = n!  =  1 · 2 · 3 · … · n

Definition:  0! = 1
Rekursion:   n! = n · (n − 1)!

Die Fakultät wächst extrem schnell. Schon 13! liegt jenseits der Milliarde, ab 171! überschreitet sie den darstellbaren Float-Bereich — der Rechner deckelt n daher bei 170.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

5! berechnen:

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5
   = 120

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erste Werte der Folge

 0! =          1
 1! =          1
 2! =          2
 3! =          6
 4! =         24
 5! =        120
 6! =        720
 7! =      5.040
 8! =     40.320
 9! =    362.880
10! =  3.628.800

Beispiel 2 — Sitzordnung

Sieben Personen sollen an einem runden Tisch in einer Reihe sitzen. Wie viele Anordnungen gibt es?

7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7
   = 5.040 Möglichkeiten

Beispiel 3 — Größeres n

15! = 1 307 674 368 000
    ≈ 1,31 · 10^12

Beispiel 4 — Quotient zweier Fakultäten

Bei vielen Formeln (z. B. Binomialkoeffizient) treten Quotienten von Fakultäten auf, die sich stark kürzen lassen:

10! / 7! = (1 · 2 · … · 10) / (1 · 2 · … · 7)
         = 8 · 9 · 10
         = 720