Bogenlänge (Integral)
Länge einer Kurve y = f(x) über [a, b]: L = ∫ √(1 + [f'(x)]²) dx. Eingabe ist das bereits berechnete Integral — der Rechner reicht es als Bogenlänge durch.
Bogenlänge (Integral) berechnen
Länge einer Kurve y = f(x) über [a, b]: L = ∫ √(1 + [f'(x)]²) dx. Eingabe ist das bereits berechnete Integral — der Rechner reicht es als Bogenlänge durch.
Was ist die Bogenlänge?
Die Bogenlänge einer Kurve y = f(x) zwischen zwei Stellen a und b ist die Länge, die ein Stift zurücklegen würde, der den Graphen von links nach rechts nachzeichnet. Sie wird über das Integral
L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx
bestimmt. Anschaulich: Auf einem infinitesimalen Stück (dx, dy) ergibt sich nach Pythagoras die Bogenlänge ds = √(dx² + dy²) = √(1 + (dy/dx)²) · dx — das Integral summiert all diese Mini-Strecken.
Die Stammfunktion ist selbst für einfache f oft nur numerisch lösbar. Der Rechner reicht ein bereits berechnetes Integral direkt als Bogenlänge durch und übernimmt damit nur die letzte Stufe.
Die Formel
L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dxVorgehen in der Praxis:
1. Ableitung f'(x) bestimmen.
2. Integranden bilden: √(1 + [f'(x)]²).
3. Bestimmtes Integral berechnen (symbolisch oder mit
Trapez-/Simpsonregel).
4. Ergebnis ist die Bogenlänge L.Die Variablen
| Symbol | Bedeutung | Einheit | Erklärung |
|---|---|---|---|
| ∫ √(1 + f'²) dx | Bogenintegral | — | Bestimmtes Integral des Wurzelterms. |
| L | Bogenlänge | — | Länge der Kurve über dem Intervall [a, b]. |
Minimal-Beispiel
f(x) = x über [0, 1] — eine Gerade unter 45°:
f'(x) = 1
Integrand: √(1 + 1²) = √2
∫₀¹ √2 dx = √2 ≈ 1,4142
L ≈ 1,4142Kontrolle mit Pythagoras: Die Gerade verläuft von (0|0) nach (1|1), die direkte Länge ist √(1² + 1²) = √2 — passt.
Praxis-Beispiele
Beispiel 1 — Steilere Gerade
f(x) = 2 · x über [0, 3]:
f'(x) = 2
Integrand: √(1 + 4) = √5
∫₀³ √5 dx = 3 · √5 ≈ 6,7082
L ≈ 6,7082Kontrolle: von (0|0) nach (3|6) ist die direkte Länge √(9 + 36) = √45 = 3 · √5 — passt.
Beispiel 2 — Halbkreisbogen
f(x) = √(1 − x²) über [−1, 1] (oberer Halbkreis mit Radius 1):
f'(x) = −x / √(1 − x²)
Integrand: √(1 + x² / (1 − x²)) = 1 / √(1 − x²)
∫₋₁¹ 1 / √(1 − x²) dx = π ≈ 3,1416
L ≈ 3,1416Der Umfang eines Halbkreises mit Radius 1 ist π — passt.
Beispiel 3 — Parabel
f(x) = x² über [0, 1]:
f'(x) = 2x
Integrand: √(1 + 4x²)
∫₀¹ √(1 + 4x²) dx ≈ 1,4789
(numerisch, z. B. mit Simpsonregel)
L ≈ 1,4789Beispiel 4 — Kettenlinie (cosh)
f(x) = cosh(x) über [0, 1]:
f'(x) = sinh(x)
Integrand: √(1 + sinh²(x)) = cosh(x)
∫₀¹ cosh(x) dx = sinh(1) ≈ 1,1752
L ≈ 1,1752Die Kettenlinie hat das schöne Merkmal, dass der Bogenlängen-Integrand wieder eine elementare Funktion ist — der Wurzelterm löst sich exakt zu cosh(x) auf.
Beispiel 5 — Kubische Kurve
f(x) = x³ über [0, 1]:
f'(x) = 3x²
Integrand: √(1 + 9x⁴)
∫₀¹ √(1 + 9x⁴) dx ≈ 1,5479
(numerisch)
L ≈ 1,5479