Fläche unter Kurve

Was ist die Fläche unter einer Kurve?

Die Fläche unter einer Kurve y = f(x) zwischen zwei Grenzen a und b ist das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx. Ist F eine Stammfunktion von f (also F'(x) = f(x)), dann liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung den Wert direkt aus den Stammfunktions-Werten an den Grenzen.

Wichtig: Liegen Teile der Kurve unterhalb der x-Achse, zählen sie negativ. Für eine echte geometrische Fläche müsste man Vorzeichenwechsel berücksichtigen — das bestimmte Integral selbst tut das nicht.

Die Formel

A = ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

F ist Stammfunktion von f:   F'(x) = f(x)

Häufige Stammfunktionen:

∫ xⁿ dx  =  xⁿ⁺¹ / (n + 1)        (n ≠ −1)
∫ 1/x dx  =  ln|x|
∫ eˣ dx  =  eˣ
∫ sin(x) dx  =  −cos(x)
∫ cos(x) dx  =   sin(x)

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Fläche unter f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 3:

F(x) = x³ / 3   (Stammfunktion)

F(3) = 27 / 3 =  9
F(0) =  0 / 3 =  0

A = F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lineare Funktion

f(x) = 2 · x + 1 über [1, 4]:

F(x) = x² + x

F(4) = 16 + 4 = 20
F(1) =  1 + 1 =  2

A = 20 − 2 = 18

Beispiel 2 — Wurzelfunktion

f(x) = √x über [0, 4]:

F(x) = (2/3) · x^(3/2)

F(4) = (2/3) · 8  ≈ 5,3333
F(0) = 0

A = 5,3333 − 0 = 5,3333

Beispiel 3 — Negatives Teilstück

f(x) = x − 2 über [0, 4]:

F(x) = x² / 2 − 2 · x

F(4) =  8 −  8 =  0
F(0) =  0 −  0 =  0

A = 0 − 0 = 0

Das Integral ist 0, weil die Fläche unterhalb der x-Achse (von 0 bis 2) genauso groß ist wie die oberhalb (von 2 bis 4). Für die geometrische Fläche müsste man die Beträge der Teilflächen einzeln summieren.

Beispiel 4 — Exponentielles Wachstum

f(x) = eˣ über [0, 1]:

F(x) = eˣ

F(1) = e ≈ 2,7183
F(0) = 1

A = e − 1 ≈ 1,7183

Beispiel 5 — Cosinus zwischen 0 und π/2

F(x) = sin(x)

F(π/2) = 1
F(0)   = 0

A = 1 − 0 = 1