/ Integralrechnung

Fläche zwischen Kurven

Fläche zwischen zwei Funktionen f und g über demselben Intervall: A = | ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx |. Eingabe sind die bereits berechneten bestimmten Integrale beider Funktionen.

01 · Eingabe

Fläche zwischen Kurven berechnen

Fläche zwischen zwei Funktionen f und g über demselben Intervall: A = | ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx |. Eingabe sind die bereits berechneten bestimmten Integrale beider Funktionen.

A = | ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx |

If ∫ f(x) dx

Ig ∫ g(x) dx

Was ist die Fläche zwischen zwei Kurven?

Liegen zwei Funktionen f und g über demselben Intervall [a, b] und schließen einen Bereich zwischen sich ein, so ist dessen Fläche:

A = ∫ₐᵇ | f(x) − g(x) | dx

Schneiden sich f und g im Intervall nicht, lässt sich der Betrag herausziehen und das Integral der Differenz wird zur Differenz der Integrale:

A = | ∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ₐᵇ g(x) dx |

Genau diese vereinfachte Variante setzt der Rechner um — Eingabe sind die beiden bestimmten Integrale, die du z. B. mit dem Rechner "Fläche unter einer Kurve" vorab berechnet hast.

Die Formel

Formel Fläche zwischen Kurven

A = | ∫ₐᵇ f(x) dx − ∫ₐᵇ g(x) dx |

Achtung: Schneiden sich die Kurven innerhalb von [a, b], musst du das Intervall an den Schnittstellen aufteilen und die Teilflächen einzeln nach |f − g| integrieren — sonst heben sich Bereiche fälschlich gegeneinander auf.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
∫ f(x) dx	Integral von f	—	Bestimmtes Integral von f über [a, b].
∫ g(x) dx	Integral von g	—	Bestimmtes Integral von g über [a, b].
A	Fläche	—	Fläche zwischen den beiden Kurven.

Minimal-Beispiel

f(x) = x² und g(x) = x über [0, 1]:

Rechnung Beispiel

∫₀¹ x² dx  = 1/3 ≈ 0,3333
∫₀¹ x  dx  = 1/2 = 0,5

A = | 0,3333 − 0,5 |
  = 0,1667

Im Intervall [0, 1] liegt g = x oberhalb von f = x², deshalb ist die Differenz im Inneren stets positiv und der Betrag wirkt nur als Vorzeichenkorrektur.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Parabel und Gerade

f(x) = x² und g(x) = 2 · x über [0, 2]:

Rechnung x² vs. 2x über [0, 2]

∫₀² x²  dx  = 8/3 ≈ 2,6667
∫₀² 2x dx  = 4

A = | 2,6667 − 4 |
  ≈ 1,3333

Beispiel 2 — Sinus und x-Achse

f(x) = sin(x) und g(x) = 0 über [0, π]:

Rechnung sin(x) vs. 0 über [0, π]

∫₀^π sin(x) dx = 2
∫₀^π 0     dx = 0

A = | 2 − 0 | = 2

Beispiel 3 — Zwei Geraden

f(x) = 3 · x und g(x) = x + 1 über [1, 4]:

Rechnung 3x vs. x + 1 über [1, 4]

∫₁⁴ 3x   dx = (3/2) · (16 − 1) = 22,5
∫₁⁴ x+1 dx = (16/2 + 4) − (1/2 + 1) = 12 − 1,5 = 10,5

A = | 22,5 − 10,5 |
  = 12

Beispiel 4 — Parabel und nach unten geöffnete Parabel

f(x) = x² und g(x) = 4 − x² über [−1, 1]:

Rechnung x² vs. 4 − x² über [−1, 1]

∫₋₁¹ x²       dx = 2/3 ≈ 0,6667
∫₋₁¹ (4 − x²) dx = 8 − 2/3 ≈ 7,3333

A = | 0,6667 − 7,3333 |
  ≈ 6,6667

Beispiel 5 — Wenn sich Kurven schneiden

f(x) = x³ und g(x) = x über [−1, 1] schneiden sich bei x = −1, 0, 1:

Rechnung Vorsicht bei Schnittpunkten

∫₋₁¹ x³ dx = 0
∫₋₁¹ x  dx = 0

A_vereinfacht = | 0 − 0 | = 0   ✗   (falsch!)

Die naive Differenz der Integrale ergibt 0, weil sich positive und negative Teilflächen gegenseitig aufheben. Korrekt wäre, das Intervall an x = 0 zu trennen und beide Hälften separat zu integrieren — der wahre Wert ist 0,5.