Rotationsvolumen

Was ist das Rotationsvolumen?

Lässt man die Fläche zwischen einer Kurve y = f(x) und der x-Achse über dem Intervall [a, b] eine volle Umdrehung um die x-Achse rotieren, entsteht ein dreidimensionaler Rotationskörper. Sein Volumen ist:

V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

Die Vorstellung: Schneidet man den Körper senkrecht zur x-Achse, ergeben sich Kreisscheiben mit Radius f(x). Eine dünne Scheibe der Dicke dx hat das Volumen π · [f(x)]² · dx — das Integral summiert all diese Scheiben auf.

Der Rechner erwartet das bereits berechnete Integral von f(x)² über [a, b] als Eingabe und multipliziert es mit π.

Die Formel

V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Zylinder mit Radius r = 2 und Länge L = 5: das entspricht der konstanten Funktion f(x) = 2 über [0, 5].

f(x) = 2,   f(x)² = 4

∫₀⁵ 4 dx = 4 · 5 = 20

V = π · 20
  ≈ 62,832

Zum Vergleich: Formel für einen Zylinder V = π · r² · L = π · 4 · 5 = 20 · π ≈ 62,832 — passt.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Paraboloid

f(x) = √x über [0, 4]:

f(x)² = x

∫₀⁴ x dx = 16/2 = 8

V = π · 8
  ≈ 25,133

Der entstehende Körper ist ein Rotationsparaboloid — die Schale eines Trichters.

Beispiel 2 — Kegel

f(x) = x über [0, 3] liefert einen Kegel mit Höhe 3 und Grundradius 3:

f(x)² = x²

∫₀³ x² dx = 27/3 = 9

V = π · 9
  ≈ 28,274

Kontrolle mit der Kegelformel: V = (1/3) · π · r² · h = (1/3) · π · 9 · 3 = 9 · π — passt.

Beispiel 3 — Halbkugel

f(x) = √(r² − x²) mit r = 2, Intervall [0, 2]:

f(x)² = r² − x² = 4 − x²

∫₀² (4 − x²) dx = 8 − 8/3 = 16/3

V = π · 16/3
  ≈ 16,755

Kontrolle: V_Halbkugel = (2/3) · π · r³ = (2/3) · π · 8 = 16/3 · π — passt.

Beispiel 4 — Trichter

f(x) = 1 / x über [1, 2]:

f(x)² = 1 / x²

∫₁² 1/x² dx = [−1/x] von 1 bis 2 = −1/2 − (−1) = 1/2

V = π · 0,5
  ≈ 1,5708

Beispiel 5 — Sinuswelle

f(x) = sin(x) über [0, π]:

f(x)² = sin²(x)

∫₀^π sin²(x) dx = π / 2 ≈ 1,5708

V = π · π/2
  ≈ 4,9348