/ Integralrechnung

Simpsonregel

Numerische Integration mit einer Parabel als Näherung: I ≈ (b − a) / 6 · (f(a) + 4 · f(m) + f(b)) mit m = (a + b) / 2. Deutlich genauer als die Trapezregel.

Simpsonregel

01 · Eingabe

Simpsonregel berechnen

Numerische Integration mit einer Parabel als Näherung: I ≈ (b − a) / 6 · (f(a) + 4 · f(m) + f(b)) mit m = (a + b) / 2. Deutlich genauer als die Trapezregel.

I ≈ (b − a) / 6 · (f(a) + 4 · f(m) + f(b))

a Untere Grenze

b Obere Grenze

fa f(a)

fm f(m)

fb f(b)

Was ist die Simpsonregel?

Die Simpsonregel approximiert ein bestimmtes Integral, indem sie die Funktion f durch eine Parabel ersetzt, die durch die drei Stützpunkte f(a), f(m) und f(b) verläuft — wobei m = (a + b) / 2 der Mittelpunkt des Intervalls ist.

Sie ist deutlich genauer als die Trapezregel: Polynome bis zum Grad 3 werden exakt integriert. Daher reicht in der Praxis oft schon eine einzige Anwendung über das gesamte Intervall, wo die Trapezregel mehrere Teilintervalle bräuchte.

Die Formel

Formel Simpsonregel

m = (a + b) / 2

I ≈ (b − a) / 6 · (f(a) + 4 · f(m) + f(b))

Der Faktor 4 vor f(m) sorgt dafür, dass die Mitte gegenüber den Rändern stärker gewichtet wird — genau das, was eine Parabel modelliert.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Untere Grenze	—	Linke Integrationsgrenze.
b	Obere Grenze	—	Rechte Integrationsgrenze.
f(a)	Stützwert	—	Funktionswert bei a.
f(m)	Stützwert	—	Funktionswert bei m = (a + b) / 2.
f(b)	Stützwert	—	Funktionswert bei b.
I	Integral	—	Näherungswert des bestimmten Integrals.

Minimal-Beispiel

Integral von f(x) = x² über [0, 2]:

Rechnung Beispiel

a = 0,   b = 2,   m = 1
f(0) = 0,   f(1) = 1,   f(2) = 4

I ≈ (2 − 0) / 6 · (0 + 4 · 1 + 4)
  ≈ (1/3) · 8
  ≈ 2,6667

Exakt: ∫x² dx von 0 bis 2 = 8/3 ≈ 2,6667   ✓

Die Simpsonregel trifft den exakten Wert hier perfekt — x² ist ein Polynom 2. Grades und liegt damit im Genauigkeitsbereich der Methode.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Sinusbogen

f(x) = sin(x) über [0, π]:

Rechnung sin(x) über [0, π]

a = 0,   b ≈ 3,1416,   m ≈ 1,5708
f(0) = 0,   f(π/2) = 1,   f(π) = 0

I ≈ (π − 0) / 6 · (0 + 4 · 1 + 0)
  ≈ (π/6) · 4
  ≈ 2,0944

Exakt: 2.   Fehler ≈ 4,7 %.

Mit nur drei Stützstellen bereits eine brauchbare Näherung — die Trapezregel scheiterte hier komplett.

Beispiel 2 — Kubische Funktion (exakt)

f(x) = x³ − x über [0, 2]:

Rechnung x³ − x über [0, 2]

m = 1
f(0) =  0,   f(1) = 0,   f(2) = 6

I ≈ (2 − 0) / 6 · (0 + 4 · 0 + 6)
  ≈ (1/3) · 6
  ≈ 2

Exakt: ∫(x³ − x) dx von 0 bis 2 = 4 − 2 = 2   ✓

Beispiel 3 — Exponentialfunktion

f(x) = eˣ über [0, 1]:

Rechnung exp(x) über [0, 1]

m = 0,5
f(0)  = 1
f(0,5) ≈ 1,6487
f(1)   ≈ 2,7183

I ≈ (1 − 0) / 6 · (1 + 4 · 1,6487 + 2,7183)
  ≈ (1/6) · 10,3133
  ≈ 1,7189

Exakt: e − 1 ≈ 1,7183.   Fehler ≈ 0,03 %.

Beispiel 4 — Fläche aus Messwerten

Drei Messwerte einer Last F(t) in einem Zylinder, t in Sekunden:

Rechnung F(t) von 0 bis 4 s

t = 0 s   →  F = 120 N
t = 2 s   →  F = 180 N
t = 4 s   →  F = 100 N

Impuls J ≈ (4 − 0) / 6 · (120 + 4 · 180 + 100)
        ≈ (2/3) · 940
        ≈ 626,67 N·s