/ Integralrechnung

Trapezregel

Numerische Integration über ein einzelnes Trapez: I ≈ (b − a) / 2 · (f(a) + f(b)). Schnelle Näherung für ein bestimmtes Integral, wenn nur die Funktionswerte an den Grenzen bekannt sind.

Trapezregel

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Trapezregel berechnen

Numerische Integration über ein einzelnes Trapez: I ≈ (b − a) / 2 · (f(a) + f(b)). Schnelle Näherung für ein bestimmtes Integral, wenn nur die Funktionswerte an den Grenzen bekannt sind.

I ≈ (b − a) / 2 · (f(a) + f(b))

a Untere Grenze

b Obere Grenze

fa f(a)

fb f(b)

Was ist die Trapezregel?

Die Trapezregel ist die einfachste numerische Methode, um ein bestimmtes Integral näherungsweise zu berechnen. Statt die Fläche unter der Kurve f exakt zu bestimmen, ersetzt man sie durch ein Trapez zwischen den beiden Grenzen a und b.

Die parallelen Seiten des Trapezes sind die Funktionswerte f(a) und f(b), die Höhe ist die Intervallbreite b − a. Das Verfahren ist immer dann nützlich, wenn die Stammfunktion unbekannt oder schwer aufzuschreiben ist — etwa bei Messwerten.

Die Formel

Formel Trapezregel

I ≈ (b − a) / 2 · (f(a) + f(b))

Die Genauigkeit ist nur für nahezu lineare Funktionen gut. Für gekrümmte Funktionen unterteilt man das Intervall in mehrere Teilabschnitte und summiert die Trapeze (zusammengesetzte Trapezregel).

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Untere Grenze	—	Linke Integrationsgrenze.
b	Obere Grenze	—	Rechte Integrationsgrenze.
f(a)	Funktionswert	—	f an der Stelle a.
f(b)	Funktionswert	—	f an der Stelle b.
I	Integral	—	Näherungswert des bestimmten Integrals.

Minimal-Beispiel

Integral von f(x) = x² über [0, 2] mit der Trapezregel:

Rechnung Beispiel

a = 0,   b = 2
f(0) = 0,   f(2) = 4

I ≈ (2 − 0) / 2 · (0 + 4)
  ≈ 1 · 4
  ≈ 4

Zum Vergleich: Der exakte Wert ist 8/3 ≈ 2,667. Die Trapezregel überschätzt hier, weil x² unterhalb der Sehne von (0|0) nach (2|4) liegt.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Lineare Funktion (exakt)

Für f(x) = 2 · x + 1 über [1, 5] liefert die Trapezregel den exakten Wert:

Rechnung 2x + 1 über [1, 5]

f(1) =  3,   f(5) = 11

I ≈ (5 − 1) / 2 · (3 + 11)
  ≈ 2 · 14
  ≈ 28

Exakt: ∫(2x + 1) dx von 1 bis 5 = 28   ✓

Beispiel 2 — Sinusbogen

Sinus zwischen 0 und π:

Rechnung sin(x) über [0, π]

a = 0,   b ≈ 3,1416
f(0) = 0,   f(π) = 0

I ≈ (π − 0) / 2 · (0 + 0)
  ≈ 0

Der exakte Wert ist 2 — die Trapezregel mit nur einem Trapez ist hier völlig unbrauchbar, weil die Funktion in der Mitte des Intervalls ihr Maximum hat. Abhilfe: zusammengesetzte Trapezregel oder Simpsonregel.

Beispiel 3 — Messwerte aus einem Tachografen

Ein Fahrzeug wird sekündlich vermessen — Geschwindigkeit v(t) in m/s zwischen t = 0 s und t = 10 s. Bekannt sind nur die Randwerte:

Rechnung Weg aus v(0) und v(10)

v(0)  =  4 m/s
v(10) = 14 m/s

s ≈ (10 − 0) / 2 · (4 + 14)
  ≈ 5 · 18
  ≈ 90 m

Beispiel 4 — Negative Funktionswerte

f(x) = x − 3 über [0, 4]:

Rechnung x − 3 über [0, 4]

f(0) = −3,   f(4) = 1

I ≈ (4 − 0) / 2 · (−3 + 1)
  ≈ 2 · (−2)
  ≈ −4

Negative Funktionswerte tragen negativ bei — das Integral kann insgesamt negativ werden, wenn die Fläche unterhalb der x-Achse überwiegt.