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Exponentialfunktion

Berechnet e hoch x mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Grundbaustein für stetiges Wachstum und Zerfall.

Exponentialfunktion

01 · Eingabe

Exponentialfunktion berechnen

Berechnet e hoch x mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Grundbaustein für stetiges Wachstum und Zerfall.

Lösen für

y = e ^ x

x Exponent

Was ist die Exponentialfunktion?

Die Exponentialfunktion exp(x) = e^x ist die Potenz der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Sie ist die einzige Funktion, deren Ableitung mit ihr selbst übereinstimmt — das macht sie zum natürlichen Modell für stetiges Wachstum und stetigen Zerfall.

Wichtige Eigenschaften:

e^0 = 1
e^1 = e ≈ 2,71828
e^x > 0 für alle reellen x
e^(x + y) = e^x · e^y

Die Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus: ln(e^x) = x.

Die Formel

Formel Exponentialfunktion

y = e ^ x

Umkehrung:
x = ln(y)            (y > 0)

In Wachstumsmodellen wird häufig die Form A(t) = A₀ · e^(k · t) verwendet. Positives k steht für Wachstum, negatives k für Zerfall.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
x	Exponent	—	Wert im Exponenten von e.
y	Ergebnis	—	Funktionswert e^x, immer y > 0.

Minimal-Beispiel

e^1 berechnen:

Rechnung Beispiel

e^1 ≈ 2,71828

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wertetabelle

Rechnung e^x für ausgewählte x

e^(-2) ≈ 0,1353
e^(-1) ≈ 0,3679
e^0    = 1
e^1    ≈ 2,7183
e^2    ≈ 7,3891
e^3    ≈ 20,0855
e^5    ≈ 148,413
e^10   ≈ 22.026

Beispiel 2 — Stetige Verzinsung

Ein Kapital von 1000 € wird stetig mit r = 5 % über 10 Jahre verzinst:

Rechnung K(t) = K₀ · e^(r·t)

K(10) = 1000 · e^(0,05 · 10)
      = 1000 · e^0,5
      ≈ 1000 · 1,6487
      ≈ 1.648,72 €

Beispiel 3 — Radioaktiver Zerfall

Eine Probe mit Zerfallskonstante λ = 0,1 (1/Tag) ausgehend von N₀ = 5000 Atomen, nach t = 20 Tagen:

Rechnung N(t) = N₀ · e^(-λ·t)

N(20) = 5000 · e^(-0,1 · 20)
      = 5000 · e^(-2)
      ≈ 5000 · 0,1353
      ≈ 676,7 Atome

Beispiel 4 — Bevölkerungswachstum

Eine Population mit Wachstumsrate r = 2 % verdoppelt sich nach welcher Zeit?

Rechnung 2 = e^(r·t) → t = ln(2)/r

t = ln(2) / 0,02
  ≈ 0,6931 / 0,02
  ≈ 34,66 Jahre

Beispiel 5 — Rückrechnung

Bei y = 10 zurück zum Exponenten x:

Rechnung x = ln(y)

x = ln(10)
  ≈ 2,3026