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Logarithmus (beliebige Basis)

Berechnet log_b(a) über den Basiswechsel log_b(a) = ln(a) / ln(b). Beantwortet: b hoch wie viel ergibt a?

01 · Eingabe

Logarithmus (beliebige Basis) berechnen

Berechnet log_b(a) über den Basiswechsel log_b(a) = ln(a) / ln(b). Beantwortet: b hoch wie viel ergibt a?

Lösen für

y = ln(a) / ln(b)

a Argument

b Basis

Was ist der Logarithmus zu beliebiger Basis?

Der Logarithmus log_b(a) zur Basis b beantwortet: „Mit welcher Hochzahl muss ich b potenzieren, um a zu erhalten?" Formal: log_b(a) = y bedeutet b^y = a.

Da Taschenrechner und Programmiersprachen meist nur ln (Basis e) und log₁₀ (Basis 10) anbieten, nutzt man die Basiswechselformel, um jede beliebige Basis darauf zurückzuführen:

log_b(a) = ln(a) / ln(b)

Definitionsbereich: a > 0, b > 0 und b ≠ 1.

Die Formel

Formel Logarithmus zu Basis b

y = log_b(a) = ln(a) / ln(b)       (a > 0, b > 0, b ≠ 1)

Äquivalent:
y = log₁₀(a) / log₁₀(b)

Umkehrung:
a = b ^ y

Die Wahl, ob du im Zähler/Nenner ln oder log₁₀ verwendest, ist beliebig — der Quotient bleibt gleich.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
a	Argument	—	Positive Zahl, a > 0.
b	Basis	—	Basis des Logarithmus, b > 0 und b ≠ 1.
y	Ergebnis	—	Logarithmus von a zur Basis b.

Minimal-Beispiel

log₂(32) berechnen:

Rechnung Beispiel

log₂(32) = ln(32) / ln(2)
         ≈ 3,4657 / 0,6931
         = 5         (denn 2⁵ = 32)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Zweierlogarithmen

Rechnung log₂(n)

log₂(2)    = 1
log₂(4)    = 2
log₂(8)    = 3
log₂(16)   = 4
log₂(64)   = 6
log₂(1024) = 10

Beispiel 2 — Informatik: Tiefe eines Binärbaums

Ein vollständig ausbalancierter Binärbaum mit n = 1.000.000 Knoten hat Tiefe:

Rechnung Tiefe = log₂(n)

log₂(1.000.000) = ln(1.000.000) / ln(2)
                ≈ 13,8155 / 0,6931
                ≈ 19,93
→ ca. 20 Ebenen

Beispiel 3 — Krummer Zwischenwert

Rechnung log₃(50)

log₃(50) = ln(50) / ln(3)
         ≈ 3,9120 / 1,0986
         ≈ 3,5609

Beispiel 4 — Verzinsungszeit

Wie lange dauert es, bis ein Kapital bei 4 % Jahreszins (Aufzinsfaktor 1,04) das Doppelte erreicht?

Rechnung n = log_{1,04}(2)

n = ln(2) / ln(1,04)
  ≈ 0,6931 / 0,0392
  ≈ 17,67 Jahre

Beispiel 5 — Rückrechnung

Bei b = 5 und y = 3 zurück zum Argument a:

Rechnung a = b ^ y

a = 5 ^ 3
  = 125