Natürlicher Logarithmus

Was ist der natürliche Logarithmus?

Der natürliche Logarithmus ln(a) ist der Logarithmus zur Basis e — der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828. Er beantwortet: „Mit welcher Hochzahl muss ich e potenzieren, um a zu erhalten?"

Formal: ln(a) = y bedeutet e^y = a. Damit ist ln die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(x) = e^x.

Der natürliche Logarithmus ist in der Analysis besonders wichtig, weil seine Ableitung 1/a ist — die einfachste denkbare Logarithmus-Ableitung. In Wachstums- und Zerfallsmodellen taucht er deshalb sehr häufig auf.

Definitionsbereich: a > 0.

Die Formel

y = ln(a)            (a > 0)

Umkehrung:
a = e ^ y

Spezialwerte:
ln(1) = 0
ln(e) = 1

Die Variablen

Minimal-Beispiel

ln(e²) berechnen:

ln(e²) = 2       (denn e² als Argument hebt ln auf)

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Glatte Werte

ln(1)   =  0
ln(e)   =  1
ln(e²)  =  2
ln(2)   ≈  0,6931
ln(10)  ≈  2,3026
ln(100) ≈  4,6052

Beispiel 2 — Halbwertszeit

Eine Substanz zerfällt mit dem Faktor 0,5 pro Halbwertszeit. Verdopplungs-/Halbierungszeit als ln-Aufgabe:

Bei λ = 0,03 (1/Tag):
t_½ = ln(2) / 0,03
    ≈ 0,6931 / 0,03
    ≈ 23,1 Tage

Beispiel 3 — Stetiges Wachstum

Ein Guthaben wächst kontinuierlich mit Zinssatz r = 5 %. Nach welcher Zeit verdoppelt es sich?

t = ln(2) / 0,05
  ≈ 0,6931 / 0,05
  ≈ 13,86 Jahre

Beispiel 4 — Basiswechsel

Logarithmen anderer Basen lassen sich auf ln zurückführen:

log₂(8) = ln(8) / ln(2)
        ≈ 2,0794 / 0,6931
        = 3

Beispiel 5 — Rückrechnung

Bei y = 1,5 zurück zum Argument a:

a = e ^ 1,5
  ≈ 4,4817