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Fluchtgeschwindigkeit

Zweite kosmische Geschwindigkeit: v_e = √(2 · G · M / r). Mindestgeschwindigkeit, um das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers vollständig zu verlassen.

01 · Eingabe

Fluchtgeschwindigkeit berechnen

Zweite kosmische Geschwindigkeit: v_e = √(2 · G · M / r). Mindestgeschwindigkeit, um das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers vollständig zu verlassen.

Lösen für

v_e = √(2 · G · M / r)

M Masse

r Radius

Was ist die Fluchtgeschwindigkeit?

Die Fluchtgeschwindigkeit (auch zweite kosmische Geschwindigkeit) ist die Mindestgeschwindigkeit, die ein Körper an der Oberfläche eines Himmelskörpers benötigt, um dessen Gravitationsfeld vollständig zu verlassen — ohne weiteren Antrieb und auf einer parabolischen Bahn ins Unendliche.

Sie folgt aus dem Energieerhaltungssatz: Die kinetische Energie muss mindestens der Bindungsenergie im Gravitationsfeld entsprechen. Die Masse des fliehenden Körpers kürzt sich heraus — eine Rakete und ein Sandkorn benötigen die gleiche Fluchtgeschwindigkeit.

Die Formel

Formel Fluchtgeschwindigkeit

v_e = √(2 · G · M / r)

G = 6,674 · 10⁻¹¹  N·m²/kg²

Wichtig: r ist der Abstand vom Massenmittelpunkt — an der Oberfläche also der Körperradius. In größerer Höhe sinkt die nötige Fluchtgeschwindigkeit entsprechend.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
v_e	Fluchtgeschwindigkeit	m/s	Zweite kosmische Geschwindigkeit.
M	Masse	kg	Masse des Himmelskörpers.
r	Radius	m	Abstand vom Massenmittelpunkt.
G	Gravitationskonstante	N·m²/kg²	G = 6,674 · 10⁻¹¹.

Minimal-Beispiel

Ein hypothetischer Körper mit M = 6 · 10²⁴ kg und r = 6,4 · 10⁶ m (etwa erdähnlich):

Rechnung erdähnlicher Körper

v_e = √(2 · 6,674e−11 · 6e24 / 6,4e6)
    ≈ √(1,251e8)
    ≈ 11 184 m/s
    ≈ 11,2 km/s

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erde

Mit M_E = 5,972 · 10²⁴ kg und r_E = 6,371 · 10⁶ m:

Rechnung Fluchtgeschwindigkeit Erde

v_e = √(2 · 6,674e−11 · 5,972e24 / 6,371e6)
    ≈ 11 186 m/s
    ≈ 11,19 km/s
    ≈ 40 270 km/h

Genau diesen Wert müssen interplanetare Sonden überschreiten, um die Erde dauerhaft zu verlassen.

Beispiel 2 — Mond

Mit M_Mond = 7,342 · 10²² kg und r_Mond = 1,737 · 10⁶ m:

Rechnung Fluchtgeschwindigkeit Mond

v_e = √(2 · 6,674e−11 · 7,342e22 / 1,737e6)
    ≈ 2 376 m/s
    ≈ 2,38 km/s

Deshalb genügten den Apollo-Aufstiegsstufen vergleichsweise kleine Triebwerke, um vom Mond zur Rückkehr zu starten.

Beispiel 3 — Sonne (Oberfläche)

Mit M_S = 1,989 · 10³⁰ kg und r_S = 6,963 · 10⁸ m:

Rechnung Fluchtgeschwindigkeit Sonne

v_e = √(2 · 6,674e−11 · 1,989e30 / 6,963e8)
    ≈ 617 700 m/s
    ≈ 617,7 km/s

Beispiel 4 — Jupiter

Mit M_J = 1,898 · 10²⁷ kg und r_J = 6,9911 · 10⁷ m:

Rechnung Fluchtgeschwindigkeit Jupiter

v_e = √(2 · 6,674e−11 · 1,898e27 / 6,9911e7)
    ≈ 59 540 m/s
    ≈ 59,5 km/s

Jupiter besitzt nach der Sonne das stärkste Gravitationsfeld im Sonnensystem — entsprechend hoch ist die Fluchtgeschwindigkeit.

Beispiel 5 — Welche Masse für v_e = 11,2 km/s bei r = 6 371 km?

Umstellung nach M:

Rechnung Masse aus v_e und r

M = v_e² · r / (2 · G)
  = (11 200)² · 6,371e6 / (2 · 6,674e−11)
  ≈ 5,98 · 10²⁴ kg