Gezeitenkraft

Was ist die Gezeitenkraft?

Die Gezeitenkraft entsteht aus dem Unterschied der Gravitationsanziehung zwischen Vorder- und Rückseite eines ausgedehnten Körpers. Sie ist also nicht die Gravitation selbst, sondern deren Gradient über die Ausdehnung r des Objekts hinweg.

Während die normale Gravitation mit 1 / d² abnimmt, fällt die Gezeitenkraft sogar mit 1 / d³. Sie wächst aber linear mit der Ausdehnung des betroffenen Objekts — ein großer Körper „spürt" die Differenz der Anziehung stärker als ein kleiner.

Anwendungen reichen von Ebbe und Flut (Mond zerrt unterschiedlich stark an erdzugewandter und ‑abgewandter Seite) über die Roche-Grenze (an der ein Mond durch Gezeitenkräfte zerrissen wird) bis zur Spaghettifizierung an Schwarzen Löchern.

Die Formel

F_t = 2 · G · M · m · r / d³

Umstellungen:
    M = F_t · d³ / (2 · G · m · r)
    d = ∛(2 · G · M · m · r / F_t)

G = 6,674 · 10⁻¹¹  N·m²/kg²

Hier ist M die Zentralmasse (z. B. Mond), m die Masse des betroffenen Körpers (z. B. ein Mensch), r dessen Ausdehnung entlang der Verbindungsachse und d der Abstand zum Zentralkörper.

Die Variablen

Minimal-Beispiel

Eine 1-kg-Hantel von r = 0,3 m Ausdehnung, gehalten in Richtung Erde, auf der Erdoberfläche (d ≈ r_E = 6,371 · 10⁶ m):

F_t = 2 · 6,674e−11 · 5,972e24 · 1 · 0,3 / (6,371e6)³
    ≈ 9,24 · 10⁻⁷ N

Eine alltägliche Größe — daher merken wir nichts von „Gezeiten" an unserem Körper.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Mond zieht an einem Menschen

Mond: M = 7,342 · 10²² kg, Abstand d = 3,844 · 10⁸ m. Mensch: m = 80 kg, r = 1,8 m:

F_t = 2 · 6,674e−11 · 7,342e22 · 80 · 1,8 / (3,844e8)³
    ≈ 2,49 · 10⁻⁹ N

Selbst der ganze Mond zerrt an einem Menschen mit nur rund 2,5 Nanonewton Differenz — wirkungslos.

Beispiel 2 — Mond zerrt am Ozean

Mond: M = 7,342 · 10²² kg, d = 3,844 · 10⁸ m. „Objekt" Erde: m = 5,972 · 10²⁴ kg, r = 6,371 · 10⁶ m (Erdradius als Ausdehnung):

F_t = 2 · 6,674e−11 · 7,342e22 · 5,972e24 · 6,371e6 / (3,844e8)³
    ≈ 6,59 · 10¹⁸ N

Diese gewaltige Gradientenkraft verformt die Erdmasse — und schiebt vor allem die leicht beweglichen Wassermassen um wenige Meter. Das erzeugt Ebbe und Flut.

Beispiel 3 — Sonne zerrt am Ozean

Sonne: M = 1,989 · 10³⁰ kg, d = 1,496 · 10¹¹ m. Erde: m = 5,972 · 10²⁴ kg, r = 6,371 · 10⁶ m:

F_t = 2 · 6,674e−11 · 1,989e30 · 5,972e24 · 6,371e6 / (1,496e11)³
    ≈ 3,02 · 10¹⁸ N

Die Sonnengezeiten sind etwa halb so stark wie die Mondgezeiten — Spring- und Nipptide entstehen aus dem Wechselspiel beider.

Beispiel 4 — Spaghettifizierung nahe einem stellaren Schwarzen Loch

10 Sonnenmassen Schwarzes Loch (M ≈ 1,989 · 10³¹ kg), Astronaut m = 80 kg, r = 1,8 m, Distanz d = 1 000 km = 10⁶ m vom Zentrum:

F_t = 2 · 6,674e−11 · 1,989e31 · 80 · 1,8 / (1e6)³
    ≈ 3,82 · 10¹⁴ N

Eine Kraftdifferenz zwischen Kopf und Füßen von 38 Billionen Tonnen-Äquivalent — der Astronaut würde in die Länge gezogen und zerrissen.

Beispiel 5 — Wie nah, bis 1 N Differenz spürbar wird?

Wieder Mond (M = 7,342 · 10²² kg), Mensch (m = 80 kg, r = 1,8 m), Lösung nach d für F_t = 1 N:

d = ∛(2 · 6,674e−11 · 7,342e22 · 80 · 1,8 / 1)
  ≈ ∛(1,411e15)
  ≈ 1,12 · 10⁵ m
  ≈ 112 km

Müsste man dem Mond auf rund 112 km nahekommen, um in den eigenen Gliedern eine differentielle Mond-Anziehung von 1 N zu spüren — undurchführbar, da der Mond selbst 1 737 km Radius hat.