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Bahnradius (3. Keplersches Gesetz)

Aus Umlaufzeit T und Zentralmasse M folgt der mittlere Bahnradius: r = ∛(G · M · T² / (4π²)). Verbindet Periode und Geometrie einer Kepler-Bahn.

01 · Eingabe

Bahnradius (3. Keplersches Gesetz) berechnen

Aus Umlaufzeit T und Zentralmasse M folgt der mittlere Bahnradius: r = ∛(G · M · T² / (4π²)). Verbindet Periode und Geometrie einer Kepler-Bahn.

Lösen für

r = ∛(G · M · T² / (4π²))

M Zentralmasse

T Umlaufzeit

Was beschreibt das 3. Keplersche Gesetz?

Das dritte Keplersche Gesetz verbindet Umlaufzeit T und Bahnradius r eines Körpers, der eine Zentralmasse M auf einer (näherungsweise) kreisförmigen Bahn umrundet:

T² ∝ r³ — die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der Bahnradien.

In Newtons Form ergibt sich daraus direkt der Bahnradius als Funktion der Periode: r = ∛(G · M · T² / (4π²)). Damit lassen sich aus einer beobachteten Umlaufzeit der Abstand und aus dem Bahnradius die Zentralmasse bestimmen — die Grundlage, auf der etwa die Masse der Sonne, der Erde oder schwarzer Löcher abgeleitet wird.

Die Formel

Formel 3. Keplersches Gesetz

r = ∛(G · M · T² / (4π²))

Umstellungen:
    M = 4π² · r³ / (G · T²)
    T = √(4π² · r³ / (G · M))

G = 6,674 · 10⁻¹¹  N·m²/kg²

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
r	Bahnradius	m	Mittlerer Radius der Umlaufbahn.
M	Zentralmasse	kg	Masse des umkreisten Körpers.
T	Umlaufzeit	s	Dauer einer vollen Umrundung.
G	Gravitationskonstante	N·m²/kg²	G = 6,674 · 10⁻¹¹.

Minimal-Beispiel

Zentralmasse 1 · 10²⁴ kg, Umlaufzeit 1 h = 3600 s:

Rechnung kleiner Test

r = ∛(6,674e−11 · 1e24 · 3600² / (4π²))
  ≈ ∛(2,191e16)
  ≈ 2,80 · 10⁵ m
  ≈ 280 km

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Geostationäre Bahn (Erde)

Eine Bahn mit T = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s um die Erde (M_E = 5,972 · 10²⁴ kg):

Rechnung Geostationärer Bahnradius

r = ∛(6,674e−11 · 5,972e24 · 86 164² / (4π²))
  ≈ ∛(7,541e22)
  ≈ 4,2241 · 10⁷ m
  ≈ 42 241 km

Mit r_E = 6 371 km folgt eine Bahnhöhe von rund 35 870 km über der Erdoberfläche — die GEO-Höhe.

Beispiel 2 — Internationale Raumstation (ISS)

Mit T ≈ 5 580 s (≈ 93 min) und M_E = 5,972 · 10²⁴ kg:

Rechnung ISS-Bahnradius

r = ∛(6,674e−11 · 5,972e24 · 5580² / (4π²))
  ≈ 6,79 · 10⁶ m
  ≈ 6 790 km

Mit r_E = 6 371 km ergibt das eine Bahnhöhe von rund 420 km — der Wert stimmt mit der realen ISS-Höhe gut überein.

Beispiel 3 — Erdbahn um die Sonne

Mit M_S = 1,989 · 10³⁰ kg und T = 1 Jahr = 3,156 · 10⁷ s:

Rechnung 1 Astronomische Einheit

r = ∛(6,674e−11 · 1,989e30 · 3,156e7² / (4π²))
  ≈ 1,496 · 10¹¹ m
  ≈ 1 AE

Beispiel 4 — Masse der Erde aus Mondbahn

Mond: r = 3,844 · 10⁸ m, T = 2,361 · 10⁶ s (≈ 27,32 Tage). Auflösung nach M:

Rechnung Erdmasse

M = 4π² · r³ / (G · T²)
  = 4π² · (3,844e8)³ / (6,674e−11 · (2,361e6)²)
  ≈ 6,03 · 10²⁴ kg

So lässt sich aus einer rein beobachteten Mondbahn die Erdmasse berechnen.