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Schwarzschildradius

Radius des Ereignishorizonts eines nicht rotierenden Schwarzen Lochs: r_s = 2 · G · M / c². Innerhalb dieses Radius kann nichts mehr entkommen — nicht einmal Licht.

Schwarzschildradius

01 · Eingabe

Schwarzschildradius berechnen

Radius des Ereignishorizonts eines nicht rotierenden Schwarzen Lochs: r_s = 2 · G · M / c². Innerhalb dieses Radius kann nichts mehr entkommen — nicht einmal Licht.

Lösen für

r_s = 2 · G · M / c²

M Masse

Was ist der Schwarzschildradius?

Der Schwarzschildradius r_s ist der Radius des Ereignishorizonts eines nicht rotierenden, ungeladenen Schwarzen Lochs. Er entsteht als Singularität in der Schwarzschild-Lösung der Allgemeinen Relativitätstheorie (Karl Schwarzschild, 1916) und markiert die Grenze, ab der die Fluchtgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit erreicht.

Anschaulich: Würde man eine beliebige Masse M unter ihren Schwarzschildradius komprimieren, würde sie zu einem Schwarzen Loch — kein Signal, kein Lichtstrahl könnte mehr entkommen.

Die Formel

Formel Schwarzschildradius

r_s = 2 · G · M / c²

Umstellung:
    M = r_s · c² / (2 · G)

G = 6,674 · 10⁻¹¹  N·m²/kg²
c = 299 792 458 m/s

Der Schwarzschildradius wächst linear mit der Masse. Doppelte Masse — doppelter Horizont.

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
r_s	Schwarzschildradius	m	Radius des Ereignishorizonts.
M	Masse	kg	Gesamtmasse des Schwarzen Lochs.
G	Gravitationskonstante	N·m²/kg²	G = 6,674 · 10⁻¹¹.
c	Lichtgeschwindigkeit	m/s	c = 299 792 458 m/s (exakt).

Minimal-Beispiel

Ein hypothetisches Schwarzes Loch mit Sonnenmasse M = 1,989 · 10³⁰ kg:

Rechnung ein Sonnenmassen-Loch

r_s = 2 · 6,674e−11 · 1,989e30 / (299 792 458)²
    ≈ 2 953 m
    ≈ 2,95 km

Eine Sonnenmasse müsste auf rund 3 km Radius komprimiert werden — sie ist heute aber rund 700 000 km groß.

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Erde als Schwarzes Loch

M_E = 5,972 · 10²⁴ kg:

Rechnung r_s der Erdmasse

r_s = 2 · 6,674e−11 · 5,972e24 / (299 792 458)²
    ≈ 8,87 · 10⁻³ m
    ≈ 8,87 mm

Würde man die gesamte Erde auf eine Murmel von knapp 9 mm Radius zusammenpressen, entstünde ein Schwarzes Loch.

Beispiel 2 — Stellares Schwarzes Loch (10 M☉)

Typische Reste massereicher Sterne, hier 10 Sonnenmassen = 1,989 · 10³¹ kg:

Rechnung r_s ≈ 10 Sonnenmassen

r_s = 2 · 6,674e−11 · 1,989e31 / (299 792 458)²
    ≈ 29 530 m
    ≈ 29,5 km

Beispiel 3 — Sagittarius A* (Zentrum der Milchstraße)

M ≈ 4,154 · 10⁶ M☉ ≈ 8,26 · 10³⁶ kg:

Rechnung Sgr A*

r_s = 2 · 6,674e−11 · 8,26e36 / (299 792 458)²
    ≈ 1,226 · 10¹⁰ m
    ≈ 12,26 Mio km
    ≈ 0,082 AE

Das supermassereiche Schwarze Loch im Zentrum der Milchstraße hat einen Ereignishorizont kleiner als die Bahn des Merkur — und doch sichtbar mit dem Event Horizon Telescope.

Beispiel 4 — M87* (von EHT abgebildet)

M ≈ 6,5 · 10⁹ M☉ ≈ 1,293 · 10⁴⁰ kg:

Rechnung M87*

r_s = 2 · 6,674e−11 · 1,293e40 / (299 792 458)²
    ≈ 1,92 · 10¹³ m
    ≈ 128 AE

Der Ereignishorizont von M87* ist größer als das gesamte innere Sonnensystem bis weit hinter Pluto.

Beispiel 5 — Welche Masse für r_s = 1 m?

Auflösung nach M:

Rechnung Masse aus r_s = 1 m

M = r_s · c² / (2 · G)
  = 1 · (299 792 458)² / (2 · 6,674e−11)
  ≈ 6,73 · 10²⁶ kg

Etwa 113 Erdmassen auf einem Radius von einem Meter — schon ein Mini-Schwarzes-Loch.