Aktivität (zeitabhängig)

Wie nimmt die Aktivität mit der Zeit ab?

Da die Anzahl Kerne exponentiell abnimmt, fällt auch die Aktivität A = λ · N exponentiell mit demselben λ:

A(t) = A₀ · e^(−λ · t)

Das gilt für ein einzelnes Isotop ohne Nachbildung (z. B. nach einer Injektion oder am abgeschalteten Bestrahlungsgerät).

Die Formel

A(t) = A₀ · e^(−λ · t)

Umstellungen:
    A₀ = A(t) · e^(λ · t)
    t  = −ln(A(t) / A₀) / λ

Die Variablen

Minimal-Beispiel

A₀ = 100 MBq, λ = 1,0 · 10⁻⁴ 1/s, t = 2 h (7200 s):

λ · t = 1,0·10⁻⁴ · 7200 = 0,72
A(t)  = 100·10⁶ · e^(−0,72)
      ≈ 4,87·10⁷ Bq
      ≈ 48,7 MBq

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Wartezeit nach Tc-99m-Untersuchung

Nach Injektion von 800 MBq Tc-99m (λ ≈ 3,21 · 10⁻⁵ 1/s): wie lange dauert es, bis nur noch 50 MBq vorhanden sind (rein physikalisch, ohne Ausscheidung)?

A(t)/A₀ = 50 / 800 = 0,0625
t = −ln(0,0625) / λ
  = 2,7726 / 3,21·10⁻⁵
  ≈ 86.348 s
  ≈ 24,0 h

Beispiel 2 — Abklinglager mit I-131-Abfällen

Eine Probe hat A₀ = 10 GBq I-131 (λ ≈ 1,00 · 10⁻⁶ 1/s). Wie groß ist die Aktivität nach 60 Tagen (5,184 · 10⁶ s)?

λ · t = 1,00·10⁻⁶ · 5,184·10⁶ ≈ 5,184
A(t)  = 10·10⁹ · e^(−5,184)
      ≈ 5,60·10⁷ Bq
      ≈ 56 MBq

Beispiel 3 — F-18-Tracer auf dem Weg ins Krankenhaus

Eine PET-Tracer-Charge wird mit 5 GBq F-18 (λ ≈ 1,053 · 10⁻⁴ 1/s) ausgeliefert. Transportzeit 90 min (5400 s):

λ · t = 1,053·10⁻⁴ · 5400 ≈ 0,5686
A(t)  = 5·10⁹ · e^(−0,5686)
      ≈ 2,83·10⁹ Bq
      ≈ 2,83 GBq

Beispiel 4 — Co-60-Therapiequelle nach 10 Jahren

Eine Co-60-Quelle hat ursprünglich A₀ = 200 TBq; λ ≈ 4,168 · 10⁻⁹ 1/s. Nach 10 Jahren (3,156 · 10⁸ s):

λ · t = 4,168·10⁻⁹ · 3,156·10⁸ ≈ 1,315
A(t)  = 200·10¹² · e^(−1,315)
      ≈ 5,37·10¹³ Bq
      ≈ 53,7 TBq

Beispiel 5 — Notfall-Auswerfen von Brennelementen

Ein Reaktor enthält A₀ = 5 · 10¹⁹ Bq Xe-135 (λ ≈ 2,107 · 10⁻⁵ 1/s). Restaktivität nach 12 h (43.200 s)?

λ · t = 2,107·10⁻⁵ · 43.200 ≈ 0,9102
A(t)  = 5·10¹⁹ · e^(−0,9102)
      ≈ 2,01·10¹⁹ Bq
      ≈ 20,1 EBq