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De-Broglie-Wellenlänge

Materiewellenlänge eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v: λ = h / (m · v). Grundlage der Quantenmechanik bewegter Teilchen.

01 · Eingabe

De-Broglie-Wellenlänge berechnen

Materiewellenlänge eines Teilchens mit Masse m und Geschwindigkeit v: λ = h / (m · v). Grundlage der Quantenmechanik bewegter Teilchen.

Lösen für

λ = h / (m · v)

m Masse

v Geschwindigkeit

m/s

Was ist die De-Broglie-Wellenlänge?

Louis de Broglie postulierte 1924, dass jedem bewegten Teilchen eine Materiewelle mit der Wellenlänge

λ = h / (m · v) = h / p

zugeordnet ist. Dabei ist h = 6,62607015 · 10⁻³⁴ J·s das Plancksche Wirkungsquantum und p = m · v der Impuls. Die Wellenlänge ist umso kleiner, je größer Masse und Geschwindigkeit sind — bei Alltagsgegenständen praktisch unmessbar, bei Elektronen jedoch im Bereich atomarer Abstände.

Die Formel

Formel De-Broglie

λ = h / (m · v)

Umstellungen:
    m = h / (λ · v)
    v = h / (λ · m)

h = 6,62607015 · 10⁻³⁴ J·s

Die Variablen

Symbol	Bedeutung	Einheit	Erklärung
λ	Wellenlänge	m	De-Broglie-Wellenlänge des Teilchens.
m	Masse	kg	Teilchenmasse (nichtrelativistisch).
v	Geschwindigkeit	m/s	Teilchengeschwindigkeit.

Minimal-Beispiel

Ein Elektron (m_e ≈ 9,109 · 10⁻³¹ kg) bewegt sich mit v = 10⁶ m/s:

Rechnung Elektron

λ = h / (m · v)
  = 6,626·10⁻³⁴ / (9,109·10⁻³¹ · 10⁶)
  ≈ 7,27·10⁻¹⁰ m
  ≈ 0,73 nm

Praxis-Beispiele

Beispiel 1 — Elektron im Elektronenmikroskop

Ein TEM-Elektron mit 100 keV kinetischer Energie hat v ≈ 1,644 · 10⁸ m/s (nichtrelativistische Näherung):

Rechnung TEM-Elektron

λ = 6,626·10⁻³⁴ / (9,109·10⁻³¹ · 1,644·10⁸)
  ≈ 4,42·10⁻¹² m
  ≈ 4,4 pm
(Auflösung weit unterhalb sichtbaren Lichts)

Beispiel 2 — Thermisches Neutron im Reaktor

Ein thermisches Neutron (E ≈ 0,025 eV) hat v ≈ 2200 m/s; m_n ≈ 1,67493 · 10⁻²⁷ kg.

Rechnung Neutron

λ = 6,626·10⁻³⁴ / (1,67493·10⁻²⁷ · 2200)
  ≈ 1,80·10⁻¹⁰ m
  ≈ 0,18 nm
(passt zu Kristallgitter-Abständen — Neutronenbeugung)

Beispiel 3 — Proton im Beschleuniger (LHC, klassisch genähert)

Für Demonstrationszwecke ein Proton mit v = 10⁷ m/s (m_p ≈ 1,67262 · 10⁻²⁷ kg):

Rechnung Proton (klassisch)

λ = 6,626·10⁻³⁴ / (1,67262·10⁻²⁷ · 10⁷)
  ≈ 3,96·10⁻¹⁴ m
  ≈ 40 fm
(Bei LHC-Energien wäre die relativistische Formel nötig.)

Beispiel 4 — Fußball als „Teilchen"

Ein Fußball (m = 0,45 kg) bewegt sich mit v = 30 m/s.

Rechnung Fußball

λ = 6,626·10⁻³⁴ / (0,45 · 30)
  ≈ 4,91·10⁻³⁵ m
(Wellencharakter völlig vernachlässigbar — Alltagsgegenstände
bleiben klassisch.)

Beispiel 5 — C-60-Fullerene im Doppelspaltexperiment

Buckyballs (m ≈ 1,2 · 10⁻²⁴ kg) wurden mit v ≈ 200 m/s durch einen Doppelspalt geschossen und zeigten Interferenz:

Rechnung Fulleren

λ = 6,626·10⁻³⁴ / (1,2·10⁻²⁴ · 200)
  ≈ 2,76·10⁻¹² m
  ≈ 2,8 pm
(passend zum nachgewiesenen Interferenzmuster, Zeilinger 1999)